3.3 Декартово произведение множеств

Пусть X₁,Х₂, ..., Х_n — множества.

Прямым (декартовым) произведением множеств X_i, i = 1,2, ..., n:

X₁×Х₂ ...× Х_n

называется множество всех упорядоченных наборов (x₁,x₂, ..., x_n), где x_iϵX_i, i = 1,2, ..., n.

Из определения декартова произведения следует, что A×B = Ø, если A= Ø или B = Ø:

A×B = ØA= Ø B = Ø.

По аналогии можно утверждать, что прямое произведение нескольких множеств равно пустому множеству тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих множеств пусто.

Пример 1. Пусть X = R, Y = R — множества точек двух числовых осей. Тогда декартовым произведением X × Y = R² является множество точек плоскости (см.рис.). Каждой точке плоскости соответствует пара точек (проекций) на числовых осях.

Пример 2. Пусть заданы множества А={1,2},В={3, 4, 5},тогдаA×B={<1, 3>,<1, 4>,<1, 5>,<2, 3>,<2, 4>,<2, 5>}

Декартово произведение двух множеств обладает следующими свойствами:

• A×B ≠ B×A–некоммутативность

• A× (B×С) = (A×B) ×C= A×B×C – ассоциативность

• A× (BC) = (A×B)(A×C) – дистрибутивность по объединению

• A× (BC) = (A× B)(A× C) – дистрибутивность по пересечению

• A× (B\C) = (A×B)\(B×C)– дистрибутивность по разности

• (A × B)(C × D)=(AC)×(BD)