5.3 Свойства соответствий

Соответствие Г называется функциональным, если его трафик G функционален. График G называется функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми элементами. Другими словами, из элементов области отправления может выходить не более одной стрелки.

Следовательно, соответствие Г = <G, X, Y> функционально тогда, когда истинно

(xX,y₁, у₂Y) [<х, у₁>G &<х, у₂>Gy₁ = у₂].

Соответствие Г называется инъективным, если его график инъективен. График G называется инъективным, если в нем нет пар с разными первыми и одинаковыми вторыми элементами.

Отметим, что в частном случае инъективные и функциональные, графики могут совпадать.

Соответствие инъективно, когда справедливо:

(x₁, х₂X, yY) [<х₁,у>G &<х₂, у>Gх₁ = х₂].

Соответствие Г = <G, X, Y> называется всюду определенным, если его область определения совпадает с его областью отправления.

Пример.Г = <G,X,Y> = < {<1,2>, <3,2>, <4,5>}; {1, 3, 4}; {2, 5}>. Здесь область отправления соответствия X = {1, 3, 4}совпадает с областью определения.

Для всюду определенного соответствия справедливо выражение:

пp₁G =Х.

Аналогично можно записать:

(x)(y)[<x,y>G].

Соответствие Г = <G, X, Y>называется сюръективным, если его область значений совпадает с его областью прибытия.

Пример. Г =<G, X, Y> = <{<l, b>, <2, а>}; {1, 2, 3}; {а, b}>. Здесь область прибытия соответствия X ={а, b} совпадает с областью значений.

Для сюръективного соответствия справедливо выражение:

пp₂G =Y.

Аналогично можно записать:

(y)(х)[<x,y>G].

Соответствие Г = <G, X, Y> называется биективным соответствием или биекцией, или взаимооднозначным соответствием, если оно функционально, инъективно, всюду определено и сюрьективно.

Частным случаем соответствия является понятие отображения. Всюду определенное соответствие называется отображением X в Y и записывается

G: XY.