3.1 Кортеж

Пусть А и В — произвольные множества. Упорядоченная пара на множествах А и В, обозначаемая записью <a,b>, определяется не только самими элементами аА и bВ, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = B, то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Две упорядоченные пары <a,b>и <c, d>на множествах А и В называют равными, если а = c и b = d.

Упорядоченную пару <a,b>не следует связывать с множеством {а, b}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара <а,b> есть неупорядоченная пара {{а}, {а, b}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, b}. При а = b получаем <a,a>= {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества {a₁,...,a_n} кортеж <a₁, ..., а_n> на множествах А₁, ..., А_n характеризуется не только входящими в него элементами a₁А₁, ..., а_nА_n, но и порядком, в котором они перечисляются.

Два кортежа α=<a₁, ..., а_n>и β=<b₁, ..., b_n>на множествах А₁, ..., А_n равны, если a_i=b_i, i=.

Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент а_i — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. В отличие от множества, кортеж может иметь повторяющиеся элементы, но все эти элементы различны. Компоненты кортежа могут обозначать любые понятия, объекты, в том числе элементы множества или кортежа.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Кортеж, который не содержит компонентов в своем составе, называется пустым кортежем и обозначается α=<>. Длина этого кортежа равна нулю.

Для любых кортежей α, β, γ справедливы утверждения:

• Если α=β, то β=α

• Если α=β и β = γ, то α= γ