4.1 Понятие отношения

Отношение – это связь между любыми объектами в природе. На формальном языке отношение – это пара множеств, причем упорядоченное, первая компонента которой является подмножеством квадрата второй компоненты.

Бинарным отношением на множестве А называется пара Ф = (A,G), где А —область задания отношения, G —график отношения, причём GА².

Если (x,y)G, то будем писать хφу и говорить, что х и у вступают в отношение φ. Если х и у не вступают в отношение φ, будем писать (хφу)’.

Диагональю множества А² называется график Δ_A={(x,x)|xA}.

Множество D_R = {х : (y)xRy} называется областью определения бинарного отношения R. Областью значений бинарного отношения R называется множество I_R= {у : (x)xRy}.

Каждое бинарное отношение R есть подмножество прямого (декартова) произведения некоторых множеств X и У, таких, чтоD_RXиI_RY.

Пример. Рассмотрим множество {(1,2); (2,4); (3,3); (2,1)}. Это бинарное отношение R для X = {1,2,3}; Y = {1,2,3,4}. Область определения такого отношения D_R есть {1,2,3}Х, а область значений I_R — множество {2,4,3,1} Y.

Обратным отношением для отношения R называется отношение R^-1, такое, что R^-1={(x,y):(y,x)R}

Множество упорядоченныхn-к, т. е. RX₁X₂X_n, называется n-местным отношением φ для X₁, X₂, … ,X_n.

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества n-к отношения φ. Реляционные таблицы широко используют в компьютерной практике в реляционных базах данных. При этом имена множеств X_i называют атрибутами (свойствами), а элементы x_i∈X_i называют доменами (значениями) атрибутов. Заметим, что реляционные таблицы широко используются в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.