Закон биномиального распределения

Пусть производится серия последовательных, независимых испытаний, каждое из которых заканчивается одним из двух несовместимых между собой результатов: или событие А наступает, или оно не наступает. Вероятность появления события А в каждом испытании равна Р, а вероятность не появления события А равна q = 1 — Р. Так как испытания независимы, то вероятность появления или не появления события А не зависит от результатов предыдущих испытаний. При такой схеме испытаний вероятность появления события А заданное число раз подчиняется закону биноминального распределения, который можно сформулировать так: если вероятность события А постоянна в серии последовательных независимых испытаний и равна Р, то вероятность появления события (А) k раз в n испытаниях будет равна

В этой формуле биноминальный коэффициент обозначает число сочетаний изn элементов по k и определяется n!:

,

где символ n! обозначает факториал и выражает произведение натуральных чисел 1, 2, 3 ... n.

Математическое ожидание E(X) и дисперсия V(X) биноминального распределения равны

E(X) = n∙Р,

V(X) = n∙Р∙k

Дифференциальная функция биномиального распределения при p=0,1 и n=20 будет иметь следующий вид:

Рисунок - Дифференциальная функция биномиального распределения.

Пример. В партии деталей имеется брак, доля которого составляет 0,1. Производится последовательное извлечение 10 деталей. После каждого извлечения и обследования детали она вновь возвращается в партию, которая затем тщательно перемешивается, т.е. испытания носят независимый характер. Какова вероятность того, что при извлечении по такой схеме среди 10 деталей появится одна бракованная (k=1)?

Очевидно, что вероятность извлечения бракованной детали составляет Р = 0,1, вероятность противоположного события — извлечение годной детали

q = 1 — Р = 1 — 0,1 = 0,9.

Число испытаний n = 10 и k = 1.

Полученный результат можно отнести и к тому случаю, когда извлекается подряд 10 деталей без возврата их обратно в партию, но объем партии достаточно велик. При достаточно большой партии, например, 1000 штук, вероятность извлечения годной или негодной детали после каждого из 10 извлечений деталей изменится ничтожно мало. Поэтому при таких условиях извлечения бракованной детали можно рассматривать как событие, не зависящее от результатов предшествующих испытаний.