Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H₁, H₂,..., H_n, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =; i, j=1,2,...,n; ij;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов :

 = .

В этом случае будем говорить, что H₁, H₂,...,H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Рисунок - Диаграмма Венна

Пусть А – некоторое событие: А  

Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P_H1(A)P(H₁) + P_H2(A)P(H₂) + ...+ P_Hn(A)P(H_n)

Доказательство. Очевидно, что:

A = ,

причем все события (i = 1, 2, ..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P(A) = P() +P() +...+P()

Если учесть, что по теореме умножения

P() = ,

где i = 1,2, ..., n, то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. Партия деталей формируется продукцией, произведенной на трех станках, причем доля первого станка - 30, второго - 50, третьего - 20. Доля несоответствующих единиц продукции каждого станка составляет соответственно 3, 2 и 1. Какова вероятность того, что случайно отобранная из партии единица продукции окажется несоответствующей?

Пусть событие H₁ состоит в том, что единица продукции произведена на первом станке, H₂ на втором, H₃ - на третьем заводе. Тогда

P(H₁) = 3/10,

P(H₂) = 5/10,

P(H₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что единица продукции оказалась несоответствующей; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана несоответствующая лампа из ламп, произведенных на i-ом станке. Из условия задачи следует:

P (A/H₁) = 3/100

P(A/H₂) = 2/100

P(A/H₃) = 1/100

По формуле полной вероятности получаем

При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие А фактически появилось f раз. Число f носит название частоты появления события А либо статистического веса (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 частота – это число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс). Отношение частоты события А к общему числу испытаний n носит название частости события или относительной частоты:

m_A = f/n

Согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 относительная частота - это частота, деленная на общее число событий или наблюдений.

Пример. На станке обработано 100 деталей (n = 100). При измерении деталей оказалось, что 93 из них имеют размеры, лежащие в пределах поля допуска (f_A = 93), а размеры остальных выходят за пределы поля допуска (f_B = 7). Следовательно, частость события А, заключающегося в появлении соответствующих деталей на 100 испытаниях, составляет

m_A = 93/100

Частость события В, заключающегося в появлении брака

m_B = 7/100

Следует отметить, что если число опытов достаточно велико, то считают, что вероятность события приблизительно равна относительной частоте.

В некоторых случаях более предпочтительно использовать накопленную частоту N, показывающую количество единиц статистической совокупности, у которых числовое значение не превышает заданного (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 накопленная кумулятивная частота - это число наблюдений из множества, имеющих значения, которые меньше заданного значения или равны ему). По мнению авторов, само терминологическое понятие «накопленная кумулятивная частота» в некоторой степени избыточно, так как слова «накопленная» и «кумулятивная» являются синонимами.