Статистическая проверка гипотез

Если эмпирическая кривая распределения большой выборки по своему внешнему виду приближается к какому-либо теоретическому закону распределения, то возникает вопрос, можно ли данную выборку рассматривать как выборку из генеральной совокупности, имеющей распределение именно по этому закону.

Решение этого вопроса имеет важное значение для исследователя, так как знание закона распределения изучаемой величины позволяет извлечь из экспериментов дополнительную информацию. Если производится две серии испытаний с фактором А и без него и в результате получаются разные значения средних и дисперсий изучаемой величины, то возникает вопрос, является ли это различие в средних и дисперсиях влиянием фактора А или оно носит чисто случайный характер.

Решение подобных задач производиться путем постановки и проверки так называемой нулевой гипотезы. При этом под нулевой гипотезой подразумевается допущение об отсутствии интересующего нас различия между выборками или их статистическими характеристиками. Затем гипотеза проверяется и в результате проверки либо отбрасывается, либо принимается.

Для проверки гипотез в математической статистике пользуются рядом критериев, которые называют критериями согласия. Для того, чтобы принять или забраковать гипотезу при помощи этих критериев, установлены уровни их значимости. Уровень значимости представляет собой достаточно малое значение вероятности событий, которые можно считать практически невозможными. Обычно принимают пяти-, двух- или однопроцентный уровень значимости. В технике чаще всего принимают 5% уровень значимости (Р = 0,05).

Выбирая тот или иной уровень значимости критерия, мы тем самым устанавливаем и область допустимых его значений, которая выражается вероятностью  = 1 - Р.

Статистические приемы проверки гипотез не обладают полной определенностью. Если используемый критерий попадает в область допустимых значений, то нельзя сделать вывода о правильности гипотезы, а можно лишь заключить, что полученное значение критерия не противоречит этой гипотезе. Допустимость гипотезы можно признать до тех пор, пока более обстоятельные исследования при увеличенном числе наблюдений, с помощью других более точных критериев не подтвердит это или не приведут к противоположному заключению.

Для установления закона распределения генеральной совокупности по большой выборке пользуются рядом критериев, из которых наибольшее широкое применение имеют критерии  Колмогорова и критерий ² Пирсона.

Критерий Колмогорова  дает достаточно точные результаты даже при объеме выборок, состоящих из нескольких десятков членов и прост для вычисления.

где N_х^/, N_х — накопленные теоретические и эмпирические частоты (, f_i — частота).

Для больших n Р() = 1 - k(). Функции k() и Р() табулированы. Если вероятность Р() ≤ 0,05, то гипотеза отвергается.