Эквивалентные преобразования структурных схем.

В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.

Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т.е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.

A = <M,Ω>

Л = {∙, +} f: W² ─> W

М = {W}_{i =1,n} f = W×W

Основные правила структурных схем сведем к соответствию:

1. Перестановка однородных элементов (сумматоры, узлы ответвленья, сами звенья) в последовательных и параллельных схемах.

2. Перестановка неоднородных элементов (сумматора с узлом звеньев в прямой цепи и цепи с ОС, узла со звеном, сумматора со звеном)

В приведенных таблицах:

• Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.

Действительно, т.к. y₁= W₁(p)V₁, … , y= W_n(p)y_n-1, то исключив из этой системы y₁…y_n-1 получим y = W₁(p)*W₂(p)*…*W_n(p)*V

• Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.

y₁ = W₁(p)*V, y₂ = W₂(p)*V, … , y_n = W_n(p)*V

Сложив эти n уравнений имеем:

• Совокупность звена, с охватывающим его звеном ОС можно заменить звеном с передаточной функцией.

+ для ПОС; – для ООС

Т.к. рассогласование ∆ =V±V_ОС y =W_п∙∆ V_ОС = W_ОС(p)∙y, то исключив из этой системы ∆, V_ОС получим:

y = W_П∙(V– W_ОС(p)∙y) = W_п(p)∙V

т.е.

Если передаточная функция звена цепи ОС = 1, то говорят о единичной ОС, в этом случае передаточная функция записывается в виде:

Пояснение:

Перенос сумматора через звено:

Действительно: y = W₂(p)∙(y₁+z) = W₂(p)∙y₁+W₂(p)∙z

• Перенос узла через звено:

• а) Перенос рядом расположенных узлов: 2 узла всегда можно поменять местами.

• б) Перестановка рядом расположенных сумматоров: 2 сумматора всегда можно поменять местами.

• Перестановка узла и сумматора:

Узел и сумматор всегда можно поменять местами (если они рядом расположены)

Примеры преобразований структурных схем САУ:

1. Найти передаточную функцию одноконтурной системы управления:

Решение представленной задачи следующее:

,

2. Найти передаточную функцию по управлению и по возмущению следующей системы управления:

Это так называемая многоконтурная система управления с перекрещивающимися связями. При вычислении передаточной функции по управлению считают дестабилизирующий фактор z=0, а при вычислении передаточной функции по возмущению считают входное воздействие U=0.

а) передаточная функция по управлению:

Передаточную функцию по управлению найдем последовательным преобразованием структуры исходной САУ:

-передаточная функция по управлению.

б) Передаточная функция по возмущению (получим аналогично):