Лекции Маркина / Часть 5

Основные понятия теории устойчивости

Теория устойчивости —совокупность представлений и методов, обобщающих и формализующих различные аспекты устойчивости разнообразных систем.

Экспликация понятия устойчивости.
1. Наглядным примером, демонстрирующим некоторые аспекты понятия устойчивости является простейшая динамическая система: тяжелый шарик на неровной поверхности.

В т.1 потенциальная энергия шарика имеет максимум, что означает, что это равновесное положение шарика неустойчивое (т.е. под действием малых возмущений шарик скатывается в более низкую точку 2 или 3, где его потенциальная энергия имеет минимум). В этих точках (2 или 3) состояние равновесия будет устойчивым.

Если пренебречь трением, то шарик будет в течение бесконечного времени совершать колебания вблизи положения устойчивого равновесия.

Если шарик (при других начальных условиях) начнет скатываться с точки более низкой, чем т.1, то амплитуда колебаний будет меньше (т.к. начальная энергия будет меньше). Однако, близким начальным данным будут отвечать траектории (решения матричного дифференциального уравнения) с близкими периодами и амплитудами- это т.н. орбитальная устойчивость.

Однако в том случае, когда трение не мало скорость шарика будет убывать и он остановится в точке устойчивого равновесия – это состояние устойчиво асимптотически. (В фазовом пространстве является притягивающим множеством).

Если слабо деформировать поверхность с которой скатывается шарик, то характер движения его не изменится, это т.н. структурная устойчивость. Говорят, что динамическая система устойчива в малом и не устойчива в большом.

Система находится в безразличном состоянии равновесия:

Система находится в полуустойчивом состоянии равновесия:

Замечание:

Для устойчивого объекта управления часто используется понятие самовыравнивание, т.е. если ОУ самостоятельно (без помощи управляющей подсистемы) переходит к новому устойчивому состоянию при воздействии возмущающего фактора.
Наглядная демонстрация понятия «устойчивость/неустойчивость» может быть отклик системы на типовые воздействия (функция Хевисайда, функция Дирака, гармоническая функция). При этом под устойчивостью линейной системы понимается ее свойство обеспечивать затухание переходного процесса.

Система, имеющая переходные процессы вида:

y Апериодический затухающий процесс

относятся к устойчивым системам.

Система, обладающая одним из незатухающих возрастающих колебаний, относится к неустойчивым системам:

Из рассмотренных примеров следует, что система устойчива, если ее выходная переменная остается сколь угодно малая при любых достаточно малых по абсолютной величине входных воздействий.

Понятие об устойчивости решения системы дифференциальных уравнений

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений:

- существуют и непрерывны ()

И пусть () есть решение (интеграл) нашей системы, удовлетворяющий начальным условиям().

Решение заданной системы называется устойчивым по Ляпунову при если дляможно подобрать такоетакое, что для всякого решения той же системы, начальные условия которой удовлетворяют неравенствудля всехсправедливо неравенство,, т.е. близкие по начальному условию решения остаются близкими для всех времен >t₀.

Решение устойчиво, если достаточно близко к нему в начальный момент решение содержит в сколь угодно узкой трубке, построенной вокруг решения.
Если же при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства не выполняется, то решение называется неусточивым.
Если же решение не только устойчиво, но и претворяет дополнительным условиям:

то решение называет асимптотически устойчивым.

Пример 1:

Каждое решение уравнения устойчиво . Действительно решение. Для этих решений

- для .

Следовательно, для всякого ,(например,), такое, что как только , то для решения будет выполняться неравенствопри всех . Однако асимптотическая устойчивость для этих решений нет, т.к. не стремится к нулю при .

Пример 2:

Пример 3: Для уравнения решение не устойчиво, т.к. привсе решения уравнения(стремятся к +1).

Напоминание:

Точка называется точкой покоя (особой точкой системы)

, если и.

Содержание