5.3. Примеры расчетов по методам фазовых траекторий в двумерном пространстве состояний

а) Фазовый портрет линейной системы (консервативного звена)

Производим разделение переменных:

Интегрирование первого равенства дает уравнение фазовой траектории:

Постоянную интегрирования С можно определить из начальных условий. Через каждую точку плоскости проходит только один эллипс, отвечающий определенному значению С. Эллипсы не пересекаются, но имеют один общий центр (особая точка). Вся фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга эллипсами. Т.к. известно, что исходное уравнение имеет решением незатухающие колебания с круговой частотой , то фазовой траекторией, имеющей форму подобных эллипсов с общим центром отвечают незатухающие колебания системы.

x=dy/dt

y

б) Для системы с отрицательным статизмом, т.е. , фазовые траектории, описываются уравнением семейства равносторонних гипербол, отнесенных к главным осямx=dy/dx, y.

, в этом случае, точка равновесия- седло.