5.1. Основные понятия и определения

Состояние системы- характеристика системы на данный момент ее функционирования, т.е картежи переменных.

Состояния бывают:

• начальное (начальное условие) Х₀

• промежуточное (рабочее)

• конечное (цель управления) Xt

• допустимое

• текущее

Рабочее состояние

Допустимый покой (равновесное положение)

Состояние движения

Устойчивое равновесие

Безразличное равновесие

Полуустойчивое равновесие

Неустойчивое равновесие

Состояние стационарного равномерного движения

Состояние неустойчивого движения

Состояние нестационарного устремленного движения

Фазовое пространство- абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы.

Предполагается, что это пространство снабжено естественной метрикой (выполняется правило треугольника). В этом плане фазовое пространство есть реляционная система, несущим множеством которой является множество всех состояний системы, а отношением- метрика.

где p≥1, β≥0 p,βD.

Если n=1,2,3 то можно говорить соответственно об одномерном, двумерном и трехмерном пространстве состояний конечно мерной системы. Как частный случай приведенной метрики наиболее часто используется метрика с р=2 и β=1.

Пример:

Соответствующая система из n материальных точек движущихся в трехмерном пространстве полностью характеризуется значением 3*n обобщенных координат и 3*n обобщенных импульсов.

Фазовая траектория- траектория, описываемая во времени движением в фазовом пространстве (т.е. геометрическое место перемещений фазовой точки).

Y(t)=<y1(t), y2(t),…,yn(t)>

Неподвижная точка- точка фазового пространства, соответствующая состоянию покоя динамической системы. Если дифференциальное уравнение описывает процессы в какой-то динамической системе, то ее точка равновесия представляет собой решение однородной системы уравнений:

Yi(t)=i=const (i=1..n)

fi(y1(t),…,yn(t))=0

В зависимости от количества решений однородного уравнения, заданная система может иметь разное число точек равновесия. В зависимости от поведения фазовых траекторий в окрестности точки равновесия, последние могут быть устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.

Эволюция динамической системы – задание значений фазовым координатам в начальный момент времени и эволюционного оператора, преобразующего начальное состояние в состояние в момент времени t:

Y(t=t0)=Y(0)

Тем самым в фазовом пространстве выделяются фазовая траектория, проходящая через начальную заданную точку.

Фазовый портрет- совокупность всевозможных фазовых траекторий при разных начальных условиях.

Очевидно, что различные фазовые траектории одной и той же динамической системы не пересекаются в фазовом пространстве. В противном случае, выбирая точку пересечения за начальное условие, можно получить, что из одной точки начинаются более одной фазовой траектории, что противоречит теореме Коши.