logo
Лекции Маркина / Часть 5

5.1. Основные понятия и определения

Состояние системы- характеристика системы на данный момент ее функционирования, т.е картежи переменных.

Состояния бывают:

Рабочее состояние

Допустимый покой (равновесное положение)

Состояние движения

Устойчивое равновесие

Безразличное равновесие

Состояние устойчивого движения

Полуустойчивое равновесие

Неустойчивое равновесие

Состояние стационарного равномерного движения

Состояние неустойчивого движения

Состояние нестационарного устремленного движения

Фазовое пространство- абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы.

Предполагается, что это пространство снабжено естественной метрикой (выполняется правило треугольника). В этом плане фазовое пространство есть реляционная система, несущим множеством которой является множество всех состояний системы, а отношением- метрика.

где p≥1, β≥0 p,βD.

Если n=1,2,3 то можно говорить соответственно об одномерном, двумерном и трехмерном пространстве состояний конечно мерной системы. Как частный случай приведенной метрики наиболее часто используется метрика с р=2 и β=1.

Пример:

Соответствующая система из n материальных точек движущихся в трехмерном пространстве полностью характеризуется значением 3*n обобщенных координат и 3*n обобщенных импульсов.

Фазовая траектория- траектория, описываемая во времени движением в фазовом пространстве (т.е. геометрическое место перемещений фазовой точки).

Y(t)=<y1(t), y2(t),…,yn(t)>

Неподвижная точка- точка фазового пространства, соответствующая состоянию покоя динамической системы. Если дифференциальное уравнение описывает процессы в какой-то динамической системе, то ее точка равновесия представляет собой решение однородной системы уравнений:

Yi(t)=i=const (i=1..n)

fi(y1(t),…,yn(t))=0

В зависимости от количества решений однородного уравнения, заданная система может иметь разное число точек равновесия. В зависимости от поведения фазовых траекторий в окрестности точки равновесия, последние могут быть устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.

Эволюция динамической системы – задание значений фазовым координатам в начальный момент времени и эволюционного оператора, преобразующего начальное состояние в состояние в момент времени t:

Y(t=t0)=Y(0)

Тем самым в фазовом пространстве выделяются фазовая траектория, проходящая через начальную заданную точку.

Фазовый портрет- совокупность всевозможных фазовых траекторий при разных начальных условиях.

Очевидно, что различные фазовые траектории одной и той же динамической системы не пересекаются в фазовом пространстве. В противном случае, выбирая точку пересечения за начальное условие, можно получить, что из одной точки начинаются более одной фазовой траектории, что противоречит теореме Коши.