logo
Лекции Маркина / Часть 5

6.1. Аналитические модели оу

а) Детерминированные.

Если воздействия на ОУ являются известными (детерминированными, не случайными, регулярными), то их можно представить в виде известных функций времени, а модель ОУ как детерминированную управляющую подсистему в форме Коши (векторного диф уравнения и вектора начальных условий):

y=f(y,u,t)

y(t0)=y0, - точка в n- мерном пространстве управления, - управляющее воздействие.

При этом пространство размерности и R² являются непрерывными пространствами состояний.

f- заданная векторная функция векторных предметов состояний и управления, и скалярного времени.

fF- множество функций, где F- класс функций, допускающих существование решения уравнений в форме Коши.

Примечание:

В практике проектирования САУ широко используется частный случай модели ОУ в следующей форме:

здесь: f(y,t)- векторная функция векторного аргумента состояния и скалярного времени

(y,t)- матричная функция размера n*r аргументов y и t.

Если ОУ рассматривается как линейная модель, то используют ее запись в виде:

здесь А и В- матрицы коэффициентов соответственно размера n*n и n*r.

б) Стохастические (вероятностные) модели.

Для описания движения стохастического ОУ используются модели в форме Ито и Ланжевена.

x- вектор состояний; f- вероятностная функция векторов x, u и скаляра t.

(t)- q- мерный Винеровский случайный процесс (модель броуновского движения частиц жидкости); g(x,t)- матрица функции размера n*q.

, (t)- q- мерный случайный процесс типа «белого шума» (т.е. присутствуют все гармоники); математически- производная q- мерного Винеровского процесса с нулевым математическим ожиданием M[(t)]=0 и ковариационной матрицей

(t)

t

Примечания:

  1. Уравнение, как математическая модель ОУ является записью задачи о разыскании таких элементов хХ, что f(x)=(x), где f: XY – отображение множества X в множество Y. В том случае, когда Х и Y являются множествами функций, то в зависимости от характера отображения (оператора) языком модели могут быть диф уравнения (как обыкновенные так и в частных производных) и интегральные функции.

  2. Система с дискретным временем (как детерминированная так и вероятностная) описывается разностными уравнениями.

  3. система управления называется детерминированной, если процессы в ней взаимосвязаны так, что можно проследить цепь причин и следствий. В таких системах каждому значению входного воздействия на ее любой элемент отвечают вполне определенные значения выходных координат системы.

  4. В установившемся процессе (т.е. в статике, статическом режиме) детерминированная СУ описывается алгебраическими уравнениями.