7.3 Описание линейных стационарных систем уравнениями с передаточными функциями.

Передаточная функция линейной системы – относительное изображение по Лапласу выходного и входного сигнала с нулевыми начальными условиями

Передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию комплексной переменной P.

(*)

-вещественные постоянные

-неотрицательные целые числа, называемые числом нулей(m) передаточной функции и числом полюсов (n).

Замечание:

• В ТУ соотношение (*) изображают в виде прямоугольника

U

W(p)

• Преобразование импульсной переходной функции (т.е. реакция динамической системы на воздействие δ-функции Дирака) является передаточной функцией этой системы.

W(p)

x

Пример: пусть система представлена обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

(*)

где , то

-полиномиальные коэффициенты.

Замечание:

• Полученное выражение передаточной функции в символической (операторной) форме можно получить, используя операторную форму записи, заданную дифференциальным уравнением.

, где

-собственный оператор системы

-оператор управления

В этом случае передаточная функция системы допускает следующую интерпретацию: если выбрать управляющий (входной) сигнал в виде, гдер -комплексное число такое, что собственный оператор , то линейное неоднородное уравнение системы (*) имеет частное решение в виде:

W(p)

Пример: Пусть математическая модель системы есть линейно-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами следующего вида:

, где

В этом случае, переписав уравнение в операторной (алгебраизированной) форме, имеем:

, где

- передаточная функция по управлению

- передаточная функция по возмущению

Замечание:

• Передаточная функция системы не зависит от характера приложенных воздействий, а определяется лишь параметрами и структурой самой системы и дает тем самым её динамическую характеристику.

• Если начальные значения исследуемой динамической системы не нулевые, то для её математического описания нельзя использовать передаточные функции.

Сказанное поясним для двух систем, описываемых следующими уравнениями:

(1)

(2)

Первая модель –дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Чисто механически имеем операторное значение:

(3)-для (1)

(4)-для (2)

Перепишем (3) и (4) в виде:

(5)

(6)

Пусть входное воздействие u=t изменяется во времени по прямому закону. В этом случае решением дифференциального уравнения является:

Для (1) (7)

Для (2) (8)

находят из начальных условий.

Эти два решения (7) и (8) совпадают только при нулевых начальных условиях.

Если , то имеем из (7):

(9)

Дифференцируя (7) имеем:

(10)

(11)

Из (9) и (11) следует, что

Для первой динамической системы окончательное решение имеет вид:

(12)

Аналогично, решением второй системы будет: (13)

При других ( не нулевых) начальных условиях решения (1) и (2) не совпадают. Именно поэтому отношение (5) не может служить описанием первой системы, т.е. на самом деле имеем:

Пояснение:

• Собственный оператор Q(p) и оператор управления R(p) имеют общий множитель (0) и при вычислении передаточной функции они сокращаются. Очевидно, что по полученной передаточной функции восстановить аналитическое описание первой системы не возможно. Эта передаточная функция соответствует только дифференциальному уравнению второй системы.

Замечание:

• Понятие передаточной функции обобщается и на линейные модели других типов: векторную (матричную), включая нестационарные, дискретные, с распределенными параметрами.

Напоминание: система с распределенными параметрами

R - обладает как емкостью, так и индуктивностью, так и активным сопротивлением.

С – обладает активным сопротивлением, утечками и т.п.

Если система уравнений задана векторами состояния и наблюдения, то их преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях:

(*)

V(p)- входное воздействие

(**)

Е- единичная матрица.

Подставляя первое уравнение системы во второе, имеем:

или

W(p)- матрица передаточной функции

Элемент есть передаточная функция от входов и выходов, соответственно и, т.е.

V

W(p)

Vm Ym