Графические (геометрические) критерии устойчивости Критерий Михайлова

Все корни характеристического уравнения с действительными коэффициентами и а₀=1 имеют строго отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда комплекснозначная функция

Действ. перем.

описывает в комплексной плоскостиZ кривую (годограф Михайлова), начинающуюся на положительной действительной полуоси, не попадающую в начало координат и последовательно проходящую против хода часовой стрелки и квадрантов.

Пояснения:

1. Этот критерий равносилен критерию Рауса-Гурвица, однако носит геометрический характер и не требует проверки детерминированности неравенств.

2. По существу критерий Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента, т.е. приращение аргумента комплекснозначной функции.

здесь - приращение аргумента полиномапри изменении частотыω от 0 до , он равен разности левых (n-m) и правых m корней уравнения умноженных на .

3. Аналитическая формулировка критерия Михайлова имеет вид:

0

а графически изображаем годограф при изменении параметра (0, )

и - аргумент и фаза

Очевидно, что при ω=0 Х(ω=0)=а_n и Y(ω=0)=0

В зависимости от показателя степени векового уравнения Х(ω) и Y(ω) может быть отрицательной или положительной бесконечностью.

Форма годографа Михайлова для различных n:

ω

n=1

Признаком неустойчивой системы является нарушение числа и последовательности пройденных годографом Михайлова квадрантов координатной плоскости (в следствие чего угол поворота вектора оказывается ).