Задачі для самоконтролю

1. Стрілець веде стрільбу по цілі із ймовірністю попадання при кожному пострілі 0,2. За кожне попадання він отримує 5 очок, а в разі промаху очко йому не нараховують. Знайти закон розподілу числа очко, отриманих стрільцем за 3 постріли, і обчислити математичне сподівання цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=3.

2. В рекламних цілях торгівельна фірма вкладає в кожну десяту одиницю товару грошовий приз розміром 1 тис. грн. Знайти закон розподілу випадкової величини – розміру виграшу при п’яти зроблених покупках. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини.

Відповідь: , М(Х)=0,5; D(X)=0,45.

3. Клієнти банку, не пов'язані один з одним, не повертають кредити в строк із ймовірністю 0,1. Знайти закон розподілу числа повернених в строк кредитів Із 5 виданих. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=4,5; D(X)=0,45.

4. Контрольна робота складається з трьох питань. На кожне питання наведено 4 відповіді, одна з яких правильна. Знайти закон розподілу числа правильних відповідей при простому відгадуванні. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=0,75; D(X)= .

5. В середньому по 10% договорів страхова компанія виплачує страхові суми у зв’язку з настанням страхового випадку. Знайти закон розподілу числа таких договорів серед навмання вибраних чотирьох. Обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=0,4,; D(X)=0,36.

6. В білеті три задачі. Ймовірність правильного рішення першої задачі рівна 0,9, другий – 0,8, третьої – 0,7. Знайти закон розподілу числа правильно розв’язаних задач в білеті та обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,4,; D(X)=0,46.

7. Ймовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,8 і зменшується Із кожним пострілом на 0,1. Знайти закон розподілу числа попадань в ціль, якщо зроблено три постріли. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,1,; D(X)=0,61; (Х)=0,78.

8. Зроблено два постріли в мішень. Ймовірність попадання в мішень першим стрільцем рівна 0,8, другим — 0,7. Знайти закон розподілу числа попадань в мішень. Знайти математичне сподівання, дисперсію і функцію розподілу цієї випадкової величини і побудувати її графік. Відповідь: , М(Х)=1,5; D(X)=0,37;

9.Знайти закон розподілу числа пакетів трьох акцій, по яким власником буде отриманий прибуток, якщо ймовірність отримання прибутку по кожному з них рівна відповідно 0,5, 0,6, 0,7. Знайти математичне сподівання і дисперсію даної випадкової величини, побудувати функцію розподілу. Відповідь: , М(Х)=1,8,; D(X)=0, 7;

10. Даний ряд розподілу випадкової величини

X,	2	4
р	Р1	Р2

Знайти функцію розподілу цієї випадкової величини, якщо її математичне сподівання рівно 3,4, а дисперсія рівна 0,84. Відповідь:

11. Із п'яти гвоздик дві білі. Знайти закон розподілу та побудувати функцію розподілу випадкової величини, що виражає число білих гвоздик серед двох одночасно взятих. Відповідь:  ,

12. Із 10 телевізорів на виставці 4 виявилися фірми «SONY». Для огляду вибрано 3. Знайти закон розподілу числа телевізорів фірми «SONY» серед 3 відібраних. Відповідь:  .

13. Серед 15 зібраних агрегатів 6 потребують додаткового змащування. Знайти закон розподілу числа агрегатів, що потребують додаткового змащування, серед п’яти навмання відібраних із загального числа.

Відповідь:  .

14. В магазині продається 5 вітчизняних і 3 імпортних телевізори. Знайти закон розподілу випадкової величини – числа імпортних із чотирьох навмання вибраних телевізорів. Знайти функцію розподілу цієї випадкової величини і побудувати її графік. Відповідь:  ,

15. Ймовірність того, що в бібліотеці необхідна студенту книга вільна, рівна 0,3. Знайти закон розподілу числа бібліотек, які відвідає студент, якщо в місті 4 бібліотеки. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,533,; D(X)=1,5349.

16. Екзаменатор задає студенту питання, поки той правильно відповідає. Як тільки число правильних відповідей досягне чотирьох або студент відповість неправильно, екзаменатор припиняє задавати питання. Ймовірність правильної відповіді на одне питання рівна 2/3. Знайти закон розподілу числа заданих студенту питань. Відповідь:

17. Торговий агент має 5 телефонних номерів потенційних покупців і дзвонить їм до тих пір, поки не отримає замовлення на покупку товару. Ймовірність того, що потенційний покупець зробить замовлення, рівна 0,4. Знайти закон розподілу числа телефонних розмов, які належить провести агенту. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,3; D(X)=1, 9626.

18. Кожний абітурієнт повинен здати 3 екзамени. Ймовірність успішної здачі першого екзамен рівна 0,9, другого –,0,8, третього – 0,7. Наступний екзамен абітурієнт здає тільки в разі успішної здачі попереднього. Знайти закон розподілу числа екзаменів, що здадуться абітурієнтом. Знайти математичне сподівання цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,62.

19. Мисливець, що має 4 патрона, стріляє по дичині до першого попадання або до витрачення всіх патронів. Ймовірність попадання при першому пострілі рівна 0,6, при кожному подальшому — зменшується на 0,1. Необхідно: а) знайти закон розподілу числа патронів, витрачених мисливцем; б) знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=1,72; D(X)=1, 0816.

20. Із 10 годинників, що поступили 7 потребують загального чищення механізму. Годинники не розсортовані по виду ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинники, потребуючі в чищенні, розглядає їх по черзі і, знайшовши такі годинники, припиняє подальший перегляд. Знайти закон розподілу числа переглянутих годинників. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=1,375; D(X)=0,401.

21. Є 4 ключі, із яких тільки один підходить до замка. Знайти закон розподілу числа спроб відкривання замка, якщо випробуваний ключ в подальших спробах не бере участь. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини. Відповідь: , М(Х)=2,5; D(X)=1,25, (Х)=1,12.

22. Абонент забув останню цифру потрібного йому номера телефону, проте пам’ятає, що вона непарна. Знайти закон розподілу числа зроблених ним наборів номера телефону до попадання на потрібний номер, якщо останню цифру він набирає навмання, а набрану цифру надалі не набирає. Знайти математичне сподівання і функцію розподілу цієї випадкової величини.

Відповідь:  , .

23. Дана функція розподілу випадкової величини Х:

Знайти: а) ряд розподілу; б) М(Х) і D(Х); в) побудувати функції.

Відповідь: , М(Х)=2, D(X)=0,6.

24. Випадкова величина Х, що, приймає значення з інтервалу [-1;3], задана функцією розподілу Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал [0;2]. Побудувати графік функції Відповідь: 0,5.

25. Випадкова величина Х, що, приймає значення з інтервалу [2;6], задана функцією розподілу Знайти ймовірність того, що випадкова величина прийме значення: а) менше 4; б) менше 6; в)не менше 3; г) не менше 6. Відповідь: а) 0,25; б) 1; в) ; г) 0.

26. Випадкова величина Х, що, приймає значення з інтервалу [1;4], задана функцією розподілу , що має максимум при х=4. Знайти параметри a, b, c та обчислити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал [2;3]. Відповідь: a= ,b= ,c= ; .

27. Дана функції

При якому значенні параметра С ця функція є щільністю розподілу деякої випадкової величини Х? Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Відповідь: С=1; М(Х)=2; D(X)=2.

28. Випадкова величина Х задана функцією розподілу Знайти: а) щільність ймовірності (x); б)математичне сподівання; в) дисперсію; г) ймовірність Р(Х=0,5), Р(Х<0,5), Р(0,5Х1). Відповідь: а)  ; б) М(Х)=0,6667; в) D(X)=0,0556; г) Р(Х=0,5)=0; Р(Х<0,5)=0,25; Р(0,5Х1)=0,75.