3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Якщо події А і В несумісні (АВ=), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

(3)

Наслідок 1. Ймовірність суми скінченої кількості попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

.

Наслідок 2. Ймовірність протилежної до А, події дорівнює

Наслідок 3. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці .

Задача 14. У ящику 10 червоних і 6 синіх ґудзиків. Навмання виймають два ґудзики. Яка ймовірність того, що ґудзики будуть одного кольору?

Розв’язання. Випробування – витягування з ящика двох ґудзиків. Подія А – ґудзики одного кольору; подія А₁ – ґудзики червоні; подія А ₂ – ґудзики сині.

Очевидно А=А₁+А₂, і події А₁ і А₂ несумісні. Скористаємося формулою (3) . Спочатку обчислимо Р(А₁) та Р(А₂).

Число способів взяти 2 ґудзики з 16 дорівнює . Число випадків, сприятливих для події А₁ дорівнює , сприятливих для події А₂ – .

Одержимо, ;

.

Отже, .

Відповідь. .

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Якщо події А і В сумісні, то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх добутку

(4)

Зауваження 1. Якщо події А та В незалежні, то формула (4) набуває вигляду: .

Зауваження 2. Якщо події А та В залежні, то формула (4) набуває вигляду:

або

.