5.2. Граничні теореми у схемі Бернуллі

Знаходження ймовірності за схемою Бернуллі ускладнюється, якщо п дуже велике і р або q дуже малі числа.

Для такого випадку застосовують наближені формули:

а) формула Пуассона

Справедлива наближена рівність

, де , (8)

Ця формула дає досить точне наближення при та р близьких до нуля (р0,1), тобто для подій, які рідко трапляються.

Задача.19. Середній брак при виробництві продукції становить 0,1%. Перевіряється партія з 1000 деталей. Яка ймовірність того, що бракованих буде 4 деталей?

Розв’язання. За умовою задачі n=1000, p=0,001→0, λ=np=1000*0,001=1. При таких умовах застосовуємо формулу Пуассона: . Отже, маємо .

Відповідь: 0,0153.

б) локальна теорема Муавра-Лапласа

Справедлива наближена рівність

, (9)

де , – локальна функція Муавра-Лапласа.

Функція парна. Таблиця значень функції наведена у додатку 2. Формула (9) дає добре наближення, якщо п достатньо велике, а 0р1.

Задача 20. При виробництві деякої продукції ймовірність виготовлення 1-го сорту приймається рівною 0,60. Визначити ймовірність того, що із 100 навмання взятих виробів 65 будуть першого сорту.

Розв’язання Нехай подія А – виготовлення виробу першого сорту. За умовою n=100, k=65, p=0,60, q=0,40. Оскільки n достатньо велике число, p не прямує ні до 0, ні до 1, то скористаємося локальною теоремою Муавра-Лапласа: .

.

За таблицею значень локальної функції Лапласа (додаток 2) знаходимо, що . Тому шукана ймовірність

.

Відповідь: 0,045.

в) інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Ймовірність того, що при п незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія А може відбутися з ймовірністю р (0р1), подія А відбудеться не менше к₁ і не більше к₂ разів, наближено дорівнює

(10)

де – інтегральна функція Муавра-Лапласа.

Функція непарна. Таблиця значень інтегральної функції наведена у додатку 3. Для всіх значень х≥5 можна вважати .

Задача 21. Ймовірність виходу з ладу одного приладу дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що за час Т зі 100 приладів вийде з ладу від 6 до 18 приладів.

Розв’язання За умовою задачі n=100, k₁=6, k₂=18, p=0,1, q=1‑p=1‑0,1=0,9. Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа: .

.

За таблицею значень інтегральної функції Лапласа (додаток 3) знаходимо:

Ф(2,66)=0,4961, Ф(-1,33)=-Ф(1,33)=-0,4082.

Тому .

Відповідь: 0,9043.