§2.Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

EMBED Equation.3

Поделив все члены уравнения на EMBED Equation.3 , получим уравнение

EMBED Equation.3 ,

в котором переменные разделены.

Общее решение уравнения находим почленным интегрированием

EMBED Equation.3

Например.

1). Найти общее решение уравнения

EMBED Equation.3 .

Поделим обе части уравнения на EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 .

Интегрируя обе части уравнения, получим

EMBED Equation.3 ,

откуда

EMBED Equation.3 .

Так как С- произвольная постоянная, то ее можно заменить на EMBED Equation.3 . Тогда

EMBED Equation.3 ,

это и есть общее решение данного уравнения.

2). Найти частное решение дифференциального уравнения EMBED Equation.3 , удовлетворяющее начальным условиям EMBED Equation.3 .

Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:

EMBED Equation.3

или

EMBED Equation.3 .

Интегрируя, получаем

EMBED Equation.3 .

Используя начальные условия, подставляем в выражение общего решения заданные значения переменных EMBED Equation.3 , тем самым определяем значение производной постоянной С:

EMBED Equation.3 .

Из последнего равенства получаем С = -1.

Итак, искомое частное решение :

EMBED Equation.3 .

Найти общее решение дифференциальных уравнений.

	EMBED Equation.3		EMBED Equation.3
	EMBED Equation.3		EMBED Equation.3
	EMBED Equation.3		EMBED Equation.3
	EMBED Equation.3		EMBED Equation.3

Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений: