logo
Исправленный вариант математика

§5. Дифференциал функции

Дифференциалом (первого порядка) функции EMBED Equation.3 называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента: EMBED Equation.3

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

EMBED Equation.3

Основные свойства дифференциала.

1. EMBED Equation.3 , где С=const

2. EMBED Equation.3

3. EMBED Equation.3

4. EMBED Equation.3

5. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

6. EMBED Equation.3

Если приращение аргумента EMBED Equation.3 мало по абсолютной величине, то EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции EMBED Equation.3 называется дифференциал от дифференциала первого порядка: EMBED Equation.3 . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.

Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.

  1. Найти приращение EMBED Equation.3 и дифференциал EMBED Equation.3 функции EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Имеем

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

Найдем дифференциал функции:

EMBED Equation.3 .

Абсолютная погрешность

EMBED Equation.3 .

Относительная погрешность

EMBED Equation.3 .

  1. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции EMBED Equation.3 .

Имеем

EMBED Equation.3 - дифференциал первого порядка,

EMBED Equation.3 - дифференциал второго порядка.

  1. Вычислить приближенное значение EMBED Equation.3 .

Рассмотрим функцию EMBED Equation.3 . Полагая EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и применяя формулу EMBED Equation.3 , получаем

EMBED Equation.3 .

  1. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Воспользуемся формулой EMBED Equation.3 . Полагая R=3, EMBED Equation.3 , имеем

EMBED Equation.3 .

Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение

EMBED Equation.3 .

  1. Вычислить приближенно EMBED Equation.3 .

Рассмотрим функцию EMBED Equation.3 и положим x=8, EMBED Equation.3

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4