§1.Основные понятия.

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уранения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение EMBED Equation.3 - первого порядка.

Функция y=(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.

Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением этого уравнения.

Например, для уравнения первого порядка общее решение имеет вид y=(x,с).

Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями.

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения задаются начальные условия.

Рассмотрим следующие примеры.

1). Проверить, является ли функция y=cosx решением уравнения

y+y=0.

Найдем y=-sinx, y=-cosx. Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получаем

y+y=-cosx+cosx=0,

т.е. функция y=cosx является решением данного дифференциального уравнения.

2). Общее решение дифференциального уравнения y-3y=0 иммет вид

y=Ce^3x.

Найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e³.

Значение произвольной постоянной С, соответствующее некому частному решению, получается в результате подстановки в выражение общего решения заданных начальных условий: e³=Ce³, откуда С=1. Подставляя полученное значение С=1 в общее решение, найдем частное решение y=e^3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

6.1 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения EMBED Equation.3 следующие функции:

1. EMBED Equation.3 ;

2. EMBED Equation.3 ;

3. EMBED Equation.3 ;

4. EMBED Equation.3 .

6.2 Выяснить, являются ли решениями дифференциального уравнения EMBED Equation.3 следующие функции:

1. EMBED Equation.3 ;

2. EMBED Equation.3 ;

3. EMBED Equation.3 ;

4. EMBED Equation.3 .

6.3 Общее решение дифференциального уравнения EMBED Equation.3 . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям EMBED Equation.3 .