§ 2. Числовые характеристики распределения случайных величин

Обычно для описания распределения случайной величины бывает достаточно определить несколько числовых характеристик (параметров). Наиболее распространенные из них: математическое ожидание (среднее значение) случайной величины EMBED Equation.3 , дисперсия случайной величины EMBED Equation.3 и среднее квадратичное отклонение случайной величины EMBED Equation.3 .

Математическое ожидание – наиболее вероятное значение случайной величины. Для дискретных величин оно равняется сумме произведений каждого возможного значения EMBED Equation.3 на его вероятность EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , (3)

где n-количество значений случайной величины.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание рассчитывается так: EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 (4)

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение является показателями рассеяния, вариации, изменчивости случайной величины.

Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

EMBED Equation.3 . (5)

Для дискретных случайных величин дисперсия вычисляется как:

EMBED Equation.3 , (6)

EMBED Equation.3 а для непрерывных случайных величин так:

EMBED Equation.3 . (7)

Среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле:

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 Эта величина равна среднему квадратичному отклонению случайной величины от ее математического ожидания. Она, в отличие от дисперсии, выражается в единицах той же размерности, что и изучаемая величина.

§3. Нормальный закон распределения случайных величин

Существуют различные законы распределения случайных величин. Для непрерывных величин наиболее распространенным является так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса. В соответствии с этим законом распределяются масса тела, рост человека, физиологические показатели и многое другое. В ряде случаев этот закон применим для анализа распределений дискретных случайных величин.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения случайных величин имеет следующий вид:

EMBED Equation.3 , (9)

где EMBED Equation.3 – основание натурального логарифма, EMBED Equation.3 – математическое ожидание EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 среднее квадратичное отклонение случайной величины EMBED Equation.3 .

График этой зависимости называется кривой нормального закона распределения или кривой Гаусса (рис.1). Кривая имеет колоколообразную форму, она симметрична и асимптотически приближается к нулю. Из рисунка видно, что наиболее вероятным значением случайной величины является математическое ожидание EMBED Equation.3 . При отклонении величины EMBED Equation.3 в большую или меньшую сторону вероятность ее уменьшается.

EMBED PBrush Рис. 1

На кривой имеются две характерные точки, где выпуклость ее переходит в вогнутость. Абсциссы этих точек равны EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Таблица 1

Зная функцию плотностей вероятностей, можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений EMBED Equation.3 . Например, вероятность попадания в интервал между значениями EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 равна:

EMBED Equation.3 ,

или, графически, вероятность попадания оказывается равной площади криволинейной трапеции, заштрихованной на графике, приведенном на рис.1в.

Рассчитано (табл.1), что вероятность появления случайной величины в интервале EMBED Equation.3 составляет 0,68, в интервале EMBED Equation.3 – примерно 0,95, а в интервале EMBED Equation.3 вероятность появления случайной величины составляет 0,997.