§3. Приложение определенного интеграла к решению физических задач.

Рассмотрим решение следующих задач.

1). Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону EMBED Equation.3 мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.

За малый интервал времени dt, когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа EMBED Equation.3 . За время всего импульса будет совершена работа

_{EMBED Equation.3} .

Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.

_{EMBED Equation.3}

2). Скорость точки равна EMBED Equation.3 (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за время t=4с, прошедшее от начала движения.

Найдем путь EMBED Equation.3 , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени EMBED Equation.3 . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то EMBED Equation.3 . Интегрируя, имеем

_{EMBED Equation.3}

3). Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.

Систему координат расположим так, как показано на рис. 5.

Рис. 5

Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx, находящуюся на произвольной глубине x. Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF. Из подобия треугольников ABC и AEF получаем

EMBED Equation.3 .

Отсюда

EMBED Equation.3 .

Тогда площадь полоски равна

EMBED Equation.3 .

Так как сила P давления жидкости на площадку S, глубина погружения которой r, по закону Паскаля равна

EMBED Equation.3 ,

где - плотность жидкости, g- ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле

EMBED Equation.3 .

Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC

EMBED Equation.3 .

Решить задачи.

31. Скорость движения точки определяется уравнением EMBED Equation.3 см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t=5с, протекшее от начала движения.

32. Скорость тела выражается формулой EMBED Equation.3 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.

33. Скорость движения тела определяется уравнением EMBED Equation.3 см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?

34. Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью EMBED Equation.3 (м/мин), а другое со скоростью EMBED Equation.3 (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?

35. На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течении третьей секунды движения.

36. Скорость колеблющейся точки изменяется по закону EMBED Equation.3 (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.

37. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?

38. Скорость колеблющейся точки изменяется по закону EMBED Equation.3 (м/с). Определить путь, пройденный точкой за EMBED Equation.3 с от начала движения.

39. Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре равной 300К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная EMBED Equation.3 Дж/кмоль.

40. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от длины в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?

41. Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону EMBED Equation.3 (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.

42. Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P₀ мышца растягивается на l₀ мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.

43. Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону EMBED Equation.3 . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости EMBED Equation.3 . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S=0 до S=a метров