§ 1. Проекции центральные

Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо

задаться плоскостью проекций и центром проекций -- точкой, не лежащей в этой

плоскости (рис. 1: плоскость 0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя

через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. 0, получаем точку А°. Так

же поступаем, например, с точками В и С. Точки А°, В°, С° являются

центральными проекциями точек А, В, С на пл. 0: они получаются в

пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC

с плоскостью проекций').

Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется

параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются,

но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но

бесконечно удаленную (D").

Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем

новую проекцию точки А -- точку A°1 Если же взять центр S2 на той же

проецирующей прямой SA, то проекция А° останется неизменной (А°" А°).

Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно

построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А°), нельзя по ней

определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка

проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного

решения, очевидно, необходимы дополнительные условия.

Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При

этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую

поверхность ²)

*) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную

проекцию -- полярной.

) В связи с этим центральные проекции также называют коническими.

Понятие о конической поверхности см. в стереометрии.

10

или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании

прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все

точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).

Рис. 3 Рис. 4

Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей

поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4,

проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей

поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию

на плоскости проекций.

От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию

поверхности и тела.