63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
отношении, в каком точка С" делит проекцию А"В". Проведя из точки А'
некоторую вспомогательную прямую, откладываем на ней = А"С" и 1 -2 =
С"В". Проводим прямую В'2 и параллельно ей через точку 1 прямую до
пересечения с А'В' в точке С'. Эта точка представляет собой искомую
горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ.
Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66
На рис. 64 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном
отношении.
Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С' проведена
вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2 + 5) отрезков
произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D'7 и параллельно
ему через точку 2 прямую, получаем точку К', причем С'К': K'D' = 2:5; затем
находим К". Точка К делит отрезок CD в отношении 2 :5.
На рис. 65 показаны точки и , в которых прямая, заданная отрезком
АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки называются следами: точка --
горизонтальный след прямой, точка N -- ее фронтальный след.
Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М') совпадает с
самим следом, а фронтальная проекция этого следа М" лежит на оси проекций.
Фронтальная проекция фронтального следа " совпадает с точкой , а
горизонтальная проекция ' ' лежит на той же оси проекций.
Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 66)
продолжить фронтальную проекцию А"В" до пересечения с осью 2/ и через
точку М" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр
к оси 2/1 до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'.
Точка М' -- горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с
самим следом (= знак совпадения).
Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию
А'В' до пересечения с 2/1; через точку ' (горизонтальную проекцию
фронтального
30
следа) проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной
проекции А"В". Точка N" -- фронтальная проекция фронтального следа; она
совпадает с самим следом.
По положению точек и N можно судить, к каким четвертям пространства
отнесена данная прямая. На рис. 65 прямая АВ проходит через IV, I и II
четверти.
Прямая не имеет следа на плоскости проекций том случае, когда она
параллельна этой плоскости.
На рис. 67 прямая пересекает не только пл. 1 и 2, но и пл. 3. Точка
-- профильный след прямой, т. е. след на профильной плоскости проекций.
Этот след совпадает с его собственной проекцией на пл. 3, а фронтальная и
горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и у.
Рис. 67
В данном случае прямая проходит за точкой через пятый октант и,
встречая далее пл. 2, уходит в шестой октант; прямая из первого октанта
выходит в четвертый октант ').
Соответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. Прямая показана в первом
октанте -- проекции М'Р', М"Р" и М'"Р'" и в пятом октанте -- проекции '',
"" и "'"'.
Рис. 68
Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у
горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у
профильного следа -- 0.
Построение следов профильной прямой (рис. 68) может быть выполнено
следующим способом (рис. 68, справа).
') Условимся показывать на чертежах сплошными линиями те проекции,
которые соответствуют положению отрезка в первой четверти или в первом
октанте.
31
Строим профильную проекцию (A'"B'"), определяем положение профильных
проекций горизонтального следа (М'") и фронтального следа (N'") и затем
находим положение остальных проекций этих следов (последовательность
построения на чертеже показана стрелками).
ВОПРОСЫ К §§ 10-12
1. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая
называется прямой общего положения?
2. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде отрезков прямой линии, выражает именно отрезок прямой линии?
3. Как выражается соотношение между проекцией отрезка прямой и самим
отрезком?
4. Как расположена прямая в системе 1, 2, 3, если все три проекции
отрезка этой прямой равны между собой?
5. Как построить профильную проекцию отрезка прямой общего положения по
данным фронтальной и горизонтальной проекциям?
6. Как выполнить построение по вопросу 5 на чертеже без осей проекций?
7. Какие положения прямой линии в системе .-..,., 3 считаются
"особыми" (иначе -- "частными")?
8. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если
его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
9. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если
его фронтальная проекция равна самому отрезку?
10. Какое свойство параллельного проецирования касается отношения
отрезков прямой линии?
11. Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отношении?
12. Что называется следом прямой линии на плоскости проекций?
13. Какая координата равна нулю: а) для фронтального следа прямой, б)
для горизонтального следа прямой?
14. Где располагается горизонтальная проекция фронтального следа прямой
линии?
15. Где располагается фронтальная проекция горизонтального следа прямой
линии?
16. Может ли быть случай, когда прямая линия в системе ,,·2, 3 имеет
следы на каждой из этих плоскостей, сливающиеся в одну точку?
- 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- 11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- Глава I образование проекций
- § 1. Проекции центральные
- § 2. Проекции параллельные
- 5). Так построенные проекции называются параллельными.
- 1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- § 3. Метод монжа
- 1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- Глава II точка и прямая
- § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- 2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- 15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- 3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- 26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- § 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- 1; Равном aa' и а"ах.
- 2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- § 9. Чертежи без указания осей проекций
- 2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- § 10. Проекции отрезка прямой линии
- 1) Вывод см. В § 13.
- § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- § 12. Точка на прямой. Следы прямой
- 63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- § 13. Построение на чертеже натуральной величины
- 1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- 2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- 2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- 1 || А'в1); проекция выражает
- § 14. Взаимное положение двух прямых
- § 15. О проекциях плоских углов
- 1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- 0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- Глава III. Плоскость
- § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- § 17. Следы плоскости
- § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- 108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- 110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- 117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- 1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- 1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- 130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- § 21. Построение проекций плоских фигур
- 1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- 140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- 2) Ортоцентр треугольника.
- Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- 1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- 1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- 167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- 3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- 1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- 2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- 1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- 90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- 194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- 1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- 2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- § 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- 206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- 3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- 3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- 4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- § 34. Основы способа вращения ')
- § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- 1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- 212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- 218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- 218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- 218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- 1 И, следовательно, проекция
- § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,