1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.
На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2,
определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В"
(А"А* = А'2). АВ = В"А*.
Ограничены ли чем-либо углы . и - для прямой общего положения? Да,
каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего
положения - + - < 90°. Действительно (рис. 72), в прямоугольном
треугольнике ""' сумма углов + - = 90°. Но в треугольниках ""'
''' при общей гипотенузе "' катет "" больше катета "' и,
следовательно, >1. Подставляя в + 2=90° угол вместо , получим
1+ 2<90°.
Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В
каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из
катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности
расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1
= разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2).
Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и
пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).
В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и
угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол,
определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы,
составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).
Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он
соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре,
окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол (т. е. заданный угол
с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с
треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную
проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от
пл. 1.
В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевсшй
33
Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же
гипотенузе AB и заданному углу <рг с плоскостью проекций 2 и сравним его
с треугольником В"А"А* на рис.71. Очевидно, катет В2 выражает· фронтальную
проекцию заданного отрезка, а катет А2 -- разность расстояний концов отрезка
от пл. 2.
Теперь построим чертеж (рис. 74). Положим, что отрезок надо провести
через точку В влево вниз на себя. Отложив на линии связи B"B' от точки В"
отрезок В"1, равный В! (см. рис. 73), проведем через точку 1 прямую
перпендикулярно к В"В". Засекая эту прямую из точки В" дугой, радиус которой
должен равняться фронтальной проекции, т. е. отрезку В2, получим точку А".
Чтобы найти горизонтальную проекцию А', можно засечь линию связи.
Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75
проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис.
73). При этом должно получиться А"А' -- = А2.
На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь
других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить
отрезок АВ и в этих положениях.
На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.
Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена
ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет
которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние
определяется гипотенузой О'А*.
Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной
к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в §
10, и была указана его величина ( ~ 35°). Ее можно определить, если
рассмотреть хотя
Рис. 76 Рис. 77
бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и
- 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- 11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- Глава I образование проекций
- § 1. Проекции центральные
- § 2. Проекции параллельные
- 5). Так построенные проекции называются параллельными.
- 1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- § 3. Метод монжа
- 1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- Глава II точка и прямая
- § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- 2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- 15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- 3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- 26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- § 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- 1; Равном aa' и а"ах.
- 2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- § 9. Чертежи без указания осей проекций
- 2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- § 10. Проекции отрезка прямой линии
- 1) Вывод см. В § 13.
- § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- § 12. Точка на прямой. Следы прямой
- 63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- § 13. Построение на чертеже натуральной величины
- 1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- 2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- 2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- 1 || А'в1); проекция выражает
- § 14. Взаимное положение двух прямых
- § 15. О проекциях плоских углов
- 1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- 0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- Глава III. Плоскость
- § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- § 17. Следы плоскости
- § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- 108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- 110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- 117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- 1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- 1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- 130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- § 21. Построение проекций плоских фигур
- 1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- 140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- 2) Ортоцентр треугольника.
- Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- 1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- 1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- 167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- 3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- 1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- 2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- 1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- 90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- 194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- 1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- 2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- § 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- 206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- 3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- 3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- 4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- § 34. Основы способа вращения ')
- § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- 1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- 212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- 218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- 218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- 218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- 1 И, следовательно, проекция
- § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,