§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и

ПЛОСКОСТИ

Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой.

Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости

и параллельны (рис. 152), то всегда в каждой из них можно построить по две

пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости

были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости

между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например,

Рис. 152 Рис. 153

Рис. 154 Рис. 155

следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной

плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе

плоскости параллельны между собой (рис. 153, где h'0% h'0, f"o || f"o).

На рис. 154 показаны параллельные между собой фронтально-проецирующие

плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF. Их параллельность определяется

параллельностью фронтальных проекций А"В"С" и D"F"E". Если же эти плоскости

выразить их следами на 2 и ,, то так же, как на рис. 153, фронтальные

следы ока-

62

жутся взаимно параллельными и горизонтальные следы будут также взаимно

параллельны. Очевидно, если известно, что параллельные между собой плоскости

фронтально-проецирующие, то на чертеже можно в некоторых случаях

ограничиться только приведением их фронтальных следов так, как это показано

далее на рис. 166 ("1||"2). Для горизонтально-проецирующих плоекостей

(если известно, что они. взаимно параллельны) в аналогичных случаях

достаточно провести их горизонтальные следы -- один параллельно другому.

Рассмотрим случай взаимного пересечения плоскостей. В случае задания

плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если

хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости

пересекаются. Так, например, на рис. 155 f"o || f"o, но ' и а'

пересекаются: плоскости и пересекаются между собой.

Изложенное относится к плоскостям, заданным пересекающимися следами.

Если же обе плоскости имеют на и на 2 следы, параллельные оси х, то эти

плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными. Для решения

вопроса

Рис. 156 Рис. 157

о взаимном положении таких плоскостей можно построить третий след: если

следы обеих плоскостей на третьей плоскости проекций также параллельны друг

другу, то плоскости параллельны (рис. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o и "' ||

'"); если же третьи следы пересекаются, то плоскости пересекаются (рис.

157)¹).

Так решается вопрос о взаимном положении двух плоскостей, заданных

следами. Если же плоскости заданы не следами, а каким-либо другим способом,

и надо узнать, пересекаются ли эти плоскости, то вообще следует прибегать к

некоторым вспомогательным построениям. Примеры этих построений будут даны

при дальнейшем изложении.

Рассмотрим случаи взаимного положения прямой линии и плоскости.

Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть

следующим: а) прямая лежит в плоскости, б) прямая пересекает плоскость, в)

прямая параллельна плоскости.

Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения

прямой и плоскости, и то прибегают к некоторым вспомогательным построениям,

в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости

переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой

вспомогательной прямой. Для этого (рис. 158) проводят через данную прямую АВ

некоторую вспомогательную плоскость и рассматривают взаимное положение

прямой пересечения плоскостей и и прямой АВ.

') Очевидно, что при такой, например, последовательности в расположении

параллельных оси следов: f"o, f"o, h'0, h'0 плоскости не могут быть

параллельны между собой и построение следов '" и '" излишне.

63

При этом возможны три случая:

1) Прямая MN сливается с прямой АВ; это соответствует тому, что прямая

АВ принадлежит пл. .

2) Прямая пересекает прямую АВ; это соответствует тому, что прямая

АВ пересекает пл. .

3) Прямая параллельна прямой АВ; это соответствует тому, что прямая

АВ параллельна пл. .

Итак, указанный прием определения взаимного положения прямой и

плоскости заключается в следующем:

1) через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят

линию пересечения этой плоскости и данной плоскости;

2) устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения

плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой

и плоскости.

Для решения вопроса о взаимном положении плоскости и прямой мы

применили способ вспомогательных плоскостей, которым часто пользуются при

построениях, связанных со взаимным расположением различных поверхностей и

линий с поверхностями.

Подбор вспомогательных плоскостей обычно производят с таким расчетом,

чтобы построения были как можно более простыми. Может оказаться, например,

что плоскости горизонтальные или фронтальные, горизонтально- и

фронтально-проецирующие, вообще весьма удобные в качестве вспомогательных,

нельзя будет применить совсем или их применение вызовет усложнение

построения даже по сравнению с плоскостями общего положения, взятыми в

качестве вспомогательных. Решая ту или иную задачу с применением

вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все

возникающие при этом построения были возможно проще и чтобы этих построений

было как можно меньше.