§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей
проекций2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских
фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2
дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы
двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Рис. 2011) Мы применяем распространенное название "перемена
плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций и - остаются и
лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. ·
2) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей
проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия",
1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в
трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.
Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее
удобное для выполнения требуемого построения. .
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей
задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или
4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4
-фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не
позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению
основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3%
1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы
переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл.
4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким
образом, производится последовательный переход от системы 1 2 к системе
3, 4 через промежуточную систему 3, 1.
Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно
перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную
к 4.
При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же
условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы
плоскостей 1 и 2 (см. § 7).
Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта
лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы
числитель, и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону
оси, где должны размещаться соответствующие проекции.
Введение в систему 1, 2 одной дополнительной плоскости проекций. В
большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему 1, 2 в
качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию,
отвечающему цели построения. Примером может служить пл. 3 на рис. 77: так
как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и
пл. 1, то пл. 3 была расположена перпендикулярно к пл. (образовалась
система 3, ) и || АВ.
На рис. 202 также выбор пл. 3 подчинен цели -- определить угол между
прямой CD и плоскостью проекций 2. Поэтому 3% 2 и в то же время пл. 3
параллельна прямой CD (ось 3/2% C"D"). Кроме искомого угла 2 определилась
и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').
И в случае, изображенном на рис. 203, выбор пл. 3 вполне зависит от
задания: определить натуральный вид ABC. Так как в данном случае
плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к пл. 2, то для его
изображения без искажения надо ввести в систему ,, 2 дополнительную
плоскость, отвечающую двум условиям: 3 % 2 (для образования системы 2,
з) и з II ABC (что дает возможность изобразить ABC без искажения). Новая
ось 2/3 проведена параллельно проекций А"С"В". Для построения проекции
A'"B'"C"" от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек A', B' и С
от оси 2/ 1. Натуральный вид ABC выражается новой его проекцией
A'"B'"C'".
Рис. 202 Рис. 203
82
Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. 3 не уточнен и
она может быть любой горизонтально-проецирующей, или
фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было
строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения - получить
проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и СО, лежащих в общей
для них профильной плоскости'). На рис. 204 показана
горизонтально-проецирующая пл. П3 в качестве дополнительной плоскости
проекций.
Взаимное положение новых проекций A'."B'" и C'"D'" определяет взаимное
положение заданных прямых: в данном случае прямые между собой пересекаются.
Проекцией точки пересечения на пл. п3 является точка К'"; по ней находим
проекции К' и К".
Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например,
преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе
ь, 2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.
Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость п3 проведена так, что
плоскость общего положения, заданная треугольником ABC, стала
перпендикулярной к пл. 3. Как же это получено?
В треугольнике ЛВС проведена горизонталь AD. Плоскость,
перпендикулярная к AD, перпендикулярна к ABC и в то же время к пл. 1, (так
как AD% 1). Этому удовлетворяет пл. 3, ABC. проецируется на нее в
отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рик 206),
то пл. 3 следует провести перпенди-
') То, что прямые АВ и СО пересекаются, следует из сравнения положений
точек A и В, С и D.
83
кулярно к следу h' о, т. е. к линии пересечения пл. и пл.
- 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- 11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- Глава I образование проекций
- § 1. Проекции центральные
- § 2. Проекции параллельные
- 5). Так построенные проекции называются параллельными.
- 1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- § 3. Метод монжа
- 1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- Глава II точка и прямая
- § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- 2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- 15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- 3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- 26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- § 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- 1; Равном aa' и а"ах.
- 2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- § 9. Чертежи без указания осей проекций
- 2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- § 10. Проекции отрезка прямой линии
- 1) Вывод см. В § 13.
- § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- § 12. Точка на прямой. Следы прямой
- 63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- § 13. Построение на чертеже натуральной величины
- 1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- 2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- 2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- 1 || А'в1); проекция выражает
- § 14. Взаимное положение двух прямых
- § 15. О проекциях плоских углов
- 1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- 0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- Глава III. Плоскость
- § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- § 17. Следы плоскости
- § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- 108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- 110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- 117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- 1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- 1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- 130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- § 21. Построение проекций плоских фигур
- 1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- 140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- 2) Ортоцентр треугольника.
- Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- 1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- 1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- 167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- 3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- 1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- 2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- 1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- 90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- 194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- 1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- 2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- § 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- 206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- 3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- 3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- 4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- § 34. Основы способа вращения ')
- § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- 1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- 212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- 218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- 218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- 218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- 1 И, следовательно, проекция
- § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,