§ 14. Взаимное положение двух прямых
Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирования
относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между
собой. Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие
плоскости ос и параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с
плоскостью проекций 0 получаются параллельные между собой проекции А°В° и
C°D°.
Однако, хотя А°В° \\ C°D° (рис. 78), прямые, для которых А°В° и
С0D0 являются проекциями, могут быть не параллельны
между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C1D1.
Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что
горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой,
фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции
параллельны между собой.
Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две
прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно
параллельны?
Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80
Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех
плоскостей проекций 1, 2 и 3. Но если даны параллельные между собой
проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность
прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и
может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей
проекций.
Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями
А'В', А"В" и CD', C"D", между собой параллельными, но самые прямые не
параллельны -- это видно из взаимного расположения их профильных проекций,
построенных по заданным проекциям.
Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости
проекций, по отношению к которой данные! прямые параллельны.
На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные
прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей
35
проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных
обозначений.
Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную
данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через
точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой, параллельной
L'M'.
Рис. 81
В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые
расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.
,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их
одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является
проекцией точки пересечения этих прямых.
Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD,
то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных
прямых.
Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между
собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения,
независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций.
Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения
одноименных
Рис. 82 Рис. 85
проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей
оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис, 84), эти точки
оказались бы на линии связи установленного для нее направления. Но если одна
из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже
не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые
пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие.
Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD
параллельна пл. 3, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено
построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в
данном отношении.
36
Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей для
них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. я-. Поэтому фронтальные
проекции этих прямых расположены на одной прямой.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не
параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые
общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но
точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной
линиям связи L"L' и М"М', т. е. эти прямые не пересекаются между собой.
Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.
Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций
скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из
которых одна
принадлежит первой, а другая -- второй из этих скрещивающихся прямых.
Например, на рис. 87 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой АВ, а
точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково
удалены от пл. 2, но расстояния их от пл. , различны: точка с проекциями
L" и L' дальше от nt, чем точка с проекциями К" и К' (рис. 88).
Точки с проекциями ", ' и ", ' одинаково удалены от пл. 1, но
расстояния этих точек от пл. 2 различны.
Точка с проекциями L" и L', принадлежащая прямой CD, закрывает собой
точку с проекциями К" и К' прямой АВ по отношению к пл. ^ соответствующее
направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. 2
точка с проекциями " и ' прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и
М' прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N'.
Обозначения проекций "закрытых" точек помещены в скобках1).
- 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- 11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- Глава I образование проекций
- § 1. Проекции центральные
- § 2. Проекции параллельные
- 5). Так построенные проекции называются параллельными.
- 1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- § 3. Метод монжа
- 1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- Глава II точка и прямая
- § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- 2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- 15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- 3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- 26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- § 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- 1; Равном aa' и а"ах.
- 2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- § 9. Чертежи без указания осей проекций
- 2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- § 10. Проекции отрезка прямой линии
- 1) Вывод см. В § 13.
- § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- § 12. Точка на прямой. Следы прямой
- 63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- § 13. Построение на чертеже натуральной величины
- 1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- 2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- 2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- 1 || А'в1); проекция выражает
- § 14. Взаимное положение двух прямых
- § 15. О проекциях плоских углов
- 1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- 0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- Глава III. Плоскость
- § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- § 17. Следы плоскости
- § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- 108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- 110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- 117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- 1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- 1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- 130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- § 21. Построение проекций плоских фигур
- 1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- 140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- 2) Ортоцентр треугольника.
- Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- 1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- 1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- 167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- 3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- 1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- 2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- 1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- 90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- 194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- 1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- 2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- § 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- 206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- 3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- 3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- 4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- § 34. Основы способа вращения ')
- § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- 1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- 212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- 218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- 218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- 218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- 1 И, следовательно, проекция
- § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,