§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения
надо выполнить следующее (рис. 158):
1) через данную прямую (АВ) провести некоторую вспомогательную
плоскость (ос),
2) построить прямую () пересечения плоскости данной () и
вспомогательной (ос),
3) определить положение точки (К) пересечения прямых -- данной (АВ) и
построенной ().
На рис. 172 показано построение точки пересечения прямой FK с
плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и CD,
Рис. 172 Рис. 173
Через прямую FK проведена вспомогательная фронтально-проецирующая
плоскость . Выбор фронтально-проецирующей плоскости объясняется удобством
построения точек пересечения ее фронтального следа с проекциями А"В" и
С"D". По точкам М" и " найдены горизонтальные проекции М' и ' и
тем самым определена прямая , по которой вспомогательная пл. пересекает
данную пл. . Затем найдена точка К', в которой горизонтальная проекция
прямой непосредственно или
69
при своем продолжении пересекает проекцию M'N'. После этого остается
найти фронтальную проекцию точки пересечения -- точку К".
На рис. 173 показано построение точки пересечения прямой MN с
плоскостью, заданной треугольником ABC. Ход построения не отличается от
рассмотренного на рис. 172. Но вспомогательная (на этот раз
горизонтально-проецирующая) плоскость в данном .случае указана только одним
следом ', проходящим через проекцию M'N'. Пл. пересекает ABC no прямой
DE. Но можно обойтись и без ': мысленно представляя себе
вспомогательную.горизонтально-проецирующую плоскость, проходящую через ,
выражаем проекциями E'D' и E"D" отрезок ED, по которому проведенная через MN
горизонтально-проецирующая плоскость пересекает треугольник.
Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачный треугольник,
определим видимые и невидимые части прямой MN относительно плоскостей 1 и
2.
В точке на пл. 1 совмещаются горизонтальные проекции двух точек, из
которых одна принадлежит прямой MN (фронтальная проекция E"1), а другая --
стороне треугольника А С (фронтальная проекция E").
Из расположения фронтальных проекций Е'1 и Е" следует, что на участке
КМ прямая находится над треугольником и, следовательно, на горизонтальной
проекции отрезок М'К' -- весь видимый, а отрезок K'D' -- невидимый.
На фронтальной проекции в точке F" совмещаются фронтальные проекции
двух точек, из которых одна принадлежит прямой MN, а другая -- стороне
треугольника АВ. По расположению горизонтальных проекций F' и F( заключаем,
что прямая MN на участке К находится за треугольником и, следовательно, на
фронтальной проекции отрезок F"K" -- невидимый, а отрезок K"N" -- видимый.
На рис. 174-- 176 даны примеры построения точки пересечения прямой с
плоскостью общего положения, выраженной следами. В первом примере через
прямую AB проведена горизонтально-проецирующая пл. , а во втором (рис. 175)
-- горизонтальная плоскость, что оказалось 'возможным сделать, так как в
этом примере прямая AB -- горизонтальная.
Рис. 176
Изображенная на рис. 176 прямая перпендикулярна к пл. ,.
Горизонтальные проекции всех точек этой прямой сливаются в одну точку.
Следовательно, положение проекции К' искомой точки пересечения прямой AB с
пл. известно. Положение проекции К" определено при помощи горизонтали.
- 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- 11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- Глава I образование проекций
- § 1. Проекции центральные
- § 2. Проекции параллельные
- 5). Так построенные проекции называются параллельными.
- 1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- § 3. Метод монжа
- 1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- Глава II точка и прямая
- § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- 2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- 15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- 2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- 3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- 26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- § 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- 1; Равном aa' и а"ах.
- 2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- 1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- § 9. Чертежи без указания осей проекций
- 2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- 1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- § 10. Проекции отрезка прямой линии
- 1) Вывод см. В § 13.
- § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- 1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- 2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- 3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- § 12. Точка на прямой. Следы прямой
- 63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- § 13. Построение на чертеже натуральной величины
- 1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- 2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- 2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- 1 || А'в1); проекция выражает
- § 14. Взаимное положение двух прямых
- § 15. О проекциях плоских углов
- 1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- 2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- 3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- 4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- 2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- 5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- 6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- 0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- Глава III. Плоскость
- § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- § 17. Следы плоскости
- § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- 108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- 110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- 117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- 1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- 1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- 130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- § 21. Построение проекций плоских фигур
- 1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- 140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- 2) Ортоцентр треугольника.
- Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- 1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- 1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- 167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- 3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- 1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- 2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- 1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- 90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- 194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- 1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- 2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- § 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- 206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- 3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- 3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- 4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- § 34. Основы способа вращения ')
- § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- 1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- 212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- 218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- 218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- 218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- 1 И, следовательно, проекция
- § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,