logo search
Готовые билеты - шпора

03. Производная сложной функции

f=f(x,y) x=x(f), y(f)

Предположим, что существует &f/&x, &f/&y в точке (x0,y0) x0=x(t0), y0=y(t0)

=> существует df/dt = (d/dt) * f(x(t),y(t)) | t=t0

df/dt = &d/&x * dx/dt + &f/&y*dy/dt.

Теорема. f=f(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v)

Предположим, что существует (&f/&x) (x0,y0)

&f/&y (x0,y0), &x/&u (u0,v0), &y/&u, &x/&v, &y/&v (u0,v0)

=> f(x,y)=f(x(u,v), y(u,v))

&f/&u=&f/&x*&x/&u + &f/&y*&y/&v

Пример.

f(x,y)=x^2*y^3, x=u+v, y=u-2v

f=f(u,v)=(u+v)^2*(u-2v)^3

&f/&u=&f/&x*&x/&u + &f/&y*&y/&v=2xy^3*1+3x^2y^3*1