05. Градиент. Физический смысл.

Обозначения. a=&f/&x, b=&f/&y, c=&f/&z. &-изогнутая d.

По какому направлению функция возрастает быстрее всего?

Когда производная максимальна?

&f/&l = a* cos a(альфа) + b* cos b(бета) + с* cos y (гамма) =

= sqrt (a^2 + b^2 + c^2) * ( [a / sqrt (a^2 + b^2 + c^2)]*cos a(альфа) + [ b / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) ]*cos b(бета) + [ c / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) ]*cos y(гамма) =

= [sqrt (a^2 + b^2 + c^2)] * (cos (лямбда)*cos a(альфа) + cos (мю)* cos b(бета) + cos (ню)*cos y(гамма)

[cos(лямбда), cos(мю), cos(ню)] – направляющая некоторого вектора

sqrt (a^2 + b^2 + c^2)(g[вектор]*l[вектор]) -> когда это произведение (скалярное) максимально?

При каком l[вектор] скалярное произведение (g[вектор],l[вектор]) максимально?

Вывод: Производная &f/&l будет максимальна по направлению l[вектор] равному g[вектор], l[]=g[]= [ 1/ sqrt (a^2 + b^2 + c^2)]* {&f/&y * &f/&y * &f/&z }.

Определение. Градиентом функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) наз. вектор grad f(Mo) = ( &f/&x (Mo), &f/&y (Mo), &f/&z (Mo) ).

@ - перевернутый треугольник – НАБЛА.

d – обычный треугольник

@f(Mo) = grad f (Mo). d(@f).