08. Экстремум функции нескольких переменных

Определение: Точка (x0,y0) называется точкой максимума (минимума) функции f(x,y), если существует некоторая окрестность в точке V(x0,y0), такая что любая (x,y) принадлежащая V(x,y), f(x,y)<=f(x0,y0), (соответственно для минимума: f(x,y)=>f(x0,y0) ).

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума): Если точка (x0,y0) является точкой экстремума функции f(x,y), то { f`x (x0,y0)=0, f`y (x0,y0) =0

Замечание: Данная система равносильна <=> df (x0,y0)=0 (здесь просто d)

Доказательство. Зафиксируем переменную y`.

Фy(x) = f(x,y) при фиксированной y.

т.к. точка (x0,y0) – точка экстремума функции Фy(x).

Фy(x0) => Фy(x), т.к. F(x0,y0) =>(больше-равно) f(x,y) => Ф`y (x0)=0 => f`x (x0,y0)=0

Аналогично, Ф`x(y0) => f`y(x0,y0)=0

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть f`x (x0,y0)=0, f`y (x0,y0)=0, т.е. точка (x0,y0) – стационарная (критическая).

Предположим, что существует f``xx, f``yy, f``xy, f``yx в точке (x0,y0)

а11= f``xx (x0,y0), a12= f``xy (x0,y0), a22= f``yy (x0,y0)

=> 1. Если а11а22 – а[^2]12>0, то экстремум в (x0,y0) существует

a11>0, в точке (x0,y0) – min; a11<0, в точке (x0,y0) – max.

2. Если a11a22-a[^2]12<0, то экстремум в точке не существует

3. Если a11a22-a[^2}12=0, то исследовать значение производной 3-го порядка.