14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение вида y`+P(x)y=Q(x) называют линейным дифференциальным уравнением.

Пример: y`+sinx y=x^2

Решение. Рассмотрим однородное линейное уравнение (Q(x)=0)

y`+P(x)y=0

dy/dx=-P(x)y

S dy/y= -S P(x) dx

ln y = -S P(x) dx+c

y=ce^(-S P(x)dx)

Решим методом вариации произвольной постоянной

c=u(x), т.е. y=u(x)*e^(-S P(x) dx)

[u*e^(-S Pdx)]`+- P(x)u e^(-S Pdx) = Q(x)

u`*e^(-S Pdx)+u*e^(-S P(x)dx) * (-P(x)ue^(-S Pdx)=Q(x)

u`*e^(-S P(x)dx) = Q(x)

u`=Q(x)*e^ (S P(x)dx)

u=S Q(x)e^(S P(x)dx) dx + c

y=(y0+S Q(x)e^(S P(x)dx) dx) * e^(-S P(x)dx)

Метод Бернулли

y`+P(x)y=Q(x)

y=uv => u`v+uv`+P(x)uv=Q(x)

u`v+u(v`+P(x)v)=Q(x)

v`+P(x)v=0 => u`*e^(-S P(x)dx)=Q(x)

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида y`+P(x)y=Q(x)*y^n

Сведем к уравнению: z=y^1-n; y=z^[1/(1-n)]

y`=1/(1-n) *z^[1/(1-n) -1] *z`=1/(1-n) *z^[1/1-n)] *z`

1/(1-n) *z^[n/(1-n)]*z` + P(x)*z^[1/(1-n)]=Q(x) *z^[n/(1-n)] *z^[-n/(1-n)]

1/(1-n) *z` + P(x) *z^[1/(1-n) – n/(1-n)] = Q(x) =>

=> 1/(1-n) *z` + P(x)z = Q(x) – линейное дифференциальное уравнение