18. Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

1. Простейшие дифференциальные уравнения вида y^(n)=f(x)

y^(n)=0, z=y^(n)

z`=0 => z=c1 => y^(n-1)=c1

=> y^(n-2) = c1x + c2 => y^(n-3)=c1(x^2 /2) + c2x + c3 => … =>y=c1 (x^(n-1)/(n-1)!) + c2(x^(n-2)/(n-2)!)+…+cn-1x+cn

y=Pn-1(x0, Pn-1(x)=a1x^(n-1) + a2x^(n-2) + … + an-1x + an

an=y(0), an-1=y`(0), an-2=y``(0)

2. F(x,y^(k), y^(k+1),…,y^(n))=0

z=y^(k)

F(x,z,z`,…,z^(n-k))=0

3. Дифференциальные уравнения вида F(y,y`,…y^(n))=0. Рассмотрим функцию y, как переменную

y`=p(y), y``=g(y)

y=sqrt(x); y`=1/2*sqrt(x)=1/2y

Введем p=p(y)=y`

y``=d^2y/dx^2=d/dx (dy/dx) = d/dx p(y) = dp/dy * dy/dx = p`*p