19. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Структура решения. Вронскиан.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-ного порядка называется pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y^1 + p0(x)*y = f(x)

Определение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами any^(n) + an-1*y^(n-1) + … + a1y` + 10y = f(x)

Определение. Однородным линейным дифференциальным уравнением называется pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y` + p0(x)*y = 0

Лемма. 1) Если y(x) – решение однородного линейного дифференциального уравнения, то а(альфа)(х)у(х) – тоже будет решением. 2) Если у1(х)у2(х) – решение о.л.д.у. => у1+у2 – решение.

Доказательство. (Обозначения: а-альфа)

1) n=2

p2(x)y`+p1y`+p0y = 0

p1(ay)``+p1(ay)`+p0ay = 0

p2(a``y + 2a`y` + ay``) + p1(a`y+ay`) + p0ay = 0

(Обозначения: А=а)

Аny^n + An-1y^(n-1) + … + A1y` + A0y = 0

=> An(ay)^n + An-1(ay)^(n-1) + … + A1(ay`) + A0(ay) =

т.к. а(альфа) выносится => ау – решается из следствия

Определение. Система функций y1(x), y2(x)… yn(x), заданная на [a,b] называется линейно-независимой на [a,b], если не существуют ненулевые коэффициенты a(альфа). а1y1 + a2y2 + … anyn для любого х на [a,b]

Определение. Если существуют не все равные нулю коэффициенты а a1y1 + a2y2 + … = 0 для любого х на [a,b], то y1, y2, yn – называются ЛЗ на [a,b]

Определение. y1, y2, yn – (n-1) раз дифференцируемая функция на [a,b] Вронскианом системы y1, y2 … yn называется определителем W.

Теорема. Если y1, y2, …, yn – ЛЗ система на [a,b] => W(y1,y2,yn) =0 для любого х на [a,b]

Доказательство. По условию a1y1 + a2y2 + … + a

nyn =0. Продифференцируем (n-1) это равенство.

{ a1y1 + a2y2 + … +anyn = 0

{ a1y`1 + a2y`2 + … + any`n = 0

{ …

{ a1y1^(n-1) + a2y2^(n-1) + … + anyn^(n-1) = 0

Система имеет ненулевое решение => Определитель det=0; Коэффициент = y1y2…; Неизвестные – a1,a2

=> det = | y1 y2 yn |

| y`1 y`2 y`n |

| y1^(n-1) y2^(n-1) yn^(n-1) | = 0

Теорема. Если y1,y2,… yn – ЛНЗ на [a,], то => W(y1,y2,yn)<>0 при любом х на [a,b]

Теорема (решение однородного линейного дифференциального уравнения). Пусть y1,y2,…,yn – ЛНЗ решения pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y` + p0(x)*y = 0. Тогда любое решение этого уравнения может быть представлено в виде линейных комбинаций n-решений.

y=Е(сумма)[n, i=1] ci*yi; ci=