23. Системы дифференциальных уравнений. Структура решения

{ x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + … + a1m(t)xm + f1(t)

{ x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + … + a2m(t)xm + f2(t)

{ xm = am1(t)x1 + am2(t)x2 + … + amm(t)xm + fm(t)

Определение. Система дифференциальных уравнений вида X-AX=F называется неоднородной. X=AX – однородная система

Определение. Оператор L(x)=X-AX

L(x)=F – неоднородный, L(x)=0 – однородный

Лемма. x,y – решение L(x)=0 => a(альфа)х + b(бета)y – тоже решение L(x)=0 (однородная система линейных дифференциальных уравнений)

Определение. x1,x2,…,xn – векторы из функций

xi=(xi1, xi2, xin)

xij=xij(t)

W(x1,x2,…,xn)=( x11 x12 … xn1 )

( x21 x22 … xn2 )

( xn1 xn2 … xnn)

Теорема. Если x1,x2,…,xn линейно зависимы <=> W(x1,x2,…,xn)=0

Теорема (о структуре решения). L(x)=F

Пусть х1,х2,…xn – линейно независимые решения системы L(x)=0, x* - частное решение неоднородной системы L(x)=F => Все решения (общее решение) L(x)=F будет иметь вид x = c1x1 + c2x2 + … cnxn + x*, ci э R.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом.

A=(aij); aij э R.

Рассмотрим X=AX Предположим, то л1, л2,… лn – собственные числа А (с учетом кратности и комплексности чисел).

|A-лE| = 0

1. л1, л2, …, лn – вещественные числа кратности 1 => V1, V2, … , Vn – n ЛНЗ собственных векторов. (AV=лV) => x1=e^(л1t) *V1, x2=e^(л2t) *V2

2. л=А+Вi – комплексное собственное число => л=А-Вi – корень

От комплексных решений можно перейти к вещественным.

3. л – кратное собственное число кратности S => x=(Vo+ V1t + … + V(s-1)t^(s-1)) *e^лt