01.Понятия функции и переменных, предел, непрерывность. Теоремы о непрерывных функциях.

Определение: Если в точках x0, y0 предел функции lim f(x,y)=f(x0,y0), то функция f(x,y) наз. непрерывной в точке (x0,y0).

Определение: Функция f(x,y) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке.

ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ.

Теорема: Если f(x,y) и g(x,y) непрерывны в точке x0, y0, то сумма и разность их непрерывна, их произведение тоже непрерывно, частное непрерывно, только если знаменатель не обращается в ноль.

- f(x,y)+-g(x,y) – непрерывна в точке (x0,y0)

- f(x,y)*g(x,y)

- f(x,y)/g(x,y) – непрерывна в точке (x0,y0), если g(x,y)<>0

- x=x(u,v); y=y(u,v) – непрерывны в точке (xo,yo)

=> f(x(u,v),y(u,v)) – непрерывна в точке (u0,v0), x0=x(u0,v0); y0=y(u0,v0)

Теорема Бальцано-Каши: Если в некоторой связной области D непрерывна функция f(x,y), такая, что f(x1,y1)<0, f(x2,y2)>0 => существует точка (x0,y0) принадлежащая D : f(x0,y0)=0.

Теорема Вейерштрассе: Если в некотором ограниченном замкнутом множестве D задана непрерывная функция f(x,y) => f(x,y) принимает наибольшее и наименьшее значения на D.