15. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение: Полный дифференциал функции F(x,y)

dF=Fxdx+Fydy

xy^2 dx+(y+x)dy=0

(Обозначения: & - изогнутая d)

Лемма. Форма (выражение) Pdx+Qdy; P=P(x,y); Q=Q(x,y) является полным дифференциалом некоторой функции <=> &P/&y=&Q/&x

Доказательство. Предположим, что Pdx+Qdy – полный дифференциал.

Докажем, что &P/&y=&Q/&x.

dF=F`x dx + F`y dy = Pdx + Qdy, т.е. P=Fx

P=Fx

Q=Fy => &P/&y=F``xy => при непрерывности

&P/&y=&Q/&x

Определение. Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если &P/&y=&Q/&x

Метод решения: Pdx + Qdy = 0 уравнение в полных дифференциалах

1. F - ? dF=Pdx + Qdy

{(1)F`x=P; (2)F`y=Q => F= S P(x,y)dx=Fo+Ф(у)

2. из (2) (Fo+Ф(у))`y=Q – решаем относительно y`

3. т.к. dF=0, то F=с, Fo+Ф(у)=с