11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения

Введение.

Детерминирование – характеризуется классическая механическая, квантовая механика – не детерминированная.

Конечномерность – предполагает то, что состояние системы зависит от конечного числа параметров.

Дифференцируемость – состояние системы описывается дифференцируемой функцией.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется F9x,y,y`,y``,…,y^(n))=0.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, которая входит в это уравнения.

Определение. Решением дифференциального уравнения является функция у, при подстановке которой, уравнение верно.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

F(x,y,y`)=0. Предположим, что нам удалось выразить y`=f(x,y)

Определение. Решением дифференциального уравнения называется интегрированными кривыми. Решение вида y=ф(х,0) – общее решение.

Определение. Условие вида y(x0)=y0 называется начальным.

Определение. Решение, удовлетворяющее начальному условию, называется частным.

Задача Коши. y=y(x) - ? – является решением дифференциального уравнения?

{ y`=f(x,y); y(x0)=y0.

Теорема о существовании и единственности решения.

Предположим, что f(x,y) – 1) непрерывна на прямоугольнике с центром в точке (x0,y0). Непрерывна на множестве {(x,y) x0-a<=x<=x0+a, y0-b<=y<=y0+b }

2) Функция f(x,y) удовлетворяет условию Липичица (???) на прямоугольнике |f(x1,y1) ? f(x2,y2)| <= N |y1-y2|

Любые y1, y2 из прямоугольника

Следовательно, решение задачи Коши по этим предположениям существует и оно единственно.

Замечание: 2) можно заменить на 2`: |f`y (x,y)|<=N на прямоугольнике