06. Старшие производные и дифференциалы. Смешанные производные.

Обозначение: & - изогнутая d.

z=f(x,y)

Производная второго порядка:

&^2 z/&x^2 = &/&x (&z/&x) = z``(xx)

&^2 z/&y^2 = &/&y (&z/&y) = z``(yy)

Смешанные производные.

&^2 z/&x&y = &/&x (&z/&y) = z``(xy)

&^2 z/&y&x = &/&y (&z/&x) = z``(yx)

Теорема. 1) f(x,y) определена в некоторой окрестности

2) существует f``(xy), f``(yx) в точке (x0,y0)

3) непрерывные f``(xy), f``(yx) в точке (x0,y0) => f``(xy)(x0,y0)=f``(yx)(x0,y0)

Дифференциалы старших порядков

Обозначение: d – просто d

z=f(x,y)

df=f`x dx + f`y dy

d^n f = d(d^(n-1) f)

d^2 f = d(df) = d(f`x dx + f`y dy) = d(f`x dx) + d(f`ydy) = f``xx dx^2 + f``xy dxdy + f``yx dydx + f``yy dy^2 = f``x^2 dx^2 + 2f``xy dxdy + f``y^2)dy^2.

d^3 f = f```x^3 + 3f```x^2y dx^2dy + 3f```xy^2 dxdy^2 + f```y^3 dy^3.

(uv)=u`v+uv`

u``v+2u`v`+uv``

u```v+3u``v`+3u`v``+uv```