07. Формула Тейлора (одна из важнейших формул)

1. Рассмотрим f(t) = f(t0) + f`(t0)*(t-t0) + f^n (t0) /2!*(t-t0)^2 + f```(t0)/3!*(t-t0)^3 +…+ f^(n) (t0)/n! (t-t0)^n + f^(n+1) (t0)/ (n+1)! (t-t0)^n+1

Обозначения. d – просто d, $ - треугольник

$t=t-t0, 0<Q<1.

$f(t0) = f(t) – f(t0)

$f(t0) = df(t0) + ½ d^2 f(t0) + … + 1/n! d^n f(t0) + 1/(n+1)! d^n+1 f(t0 + Q$t) в дифференциальном виде.

2. z=f(x,y) – получим формулу Тейлора в точке (x,y).

$f (x0,y0) = f(x,y) – f(x0,y0)

$x=x-x0, $y=y-y0.

Введем F(t)=f(x0+t$x, y0+ t$y), F(0)=f(x0,y0), F(1)=f(x,y)

$f(x0,y0) = F(1) – F(0) = $F(0) – ряд Тейлора в точке t0=0 при t=1

= d F(0) + ½ d^2 F(0) + … + 1/n! d^n F(0) + 1/(n+1)! d^n+1 F(0) = df(x0,y0) + ½ d^2 f(x0,y0) + … + 1/n! d^n f(x0,y0) + 1/(n+1)! d^n+1 f(x0+Q$t, y0+Q$t)

=> f(x,y) = f(x0,y0) + f`x (x0,y0) $x + f`y (x0,y0) $y + ½ (f``x^2 (x0,y0)($x)^2) + 2f``xy(x0,y0) $x$y + f``y^2 (x0,y0)($y)^2 +…