13. Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция f(x,y) называется однородной степени k, если для любого числа л (лямбда) верно f(лх,лу)=л^k *(x,y).

f(x,y)=x^3+y^3; f(лх,лу)=(лх)^3 + (лу)^3=л^3(x^3+y^3)=л^3 f(x,y)

f(лх,лу)=[(лх+лу)/(лх-лу)]=f(x,y)*л^0 – однородной степени 0 (ноль)

Определение. Функцией однородной степени 0 называется однородной (???)

Замечание. f(x,y) – однородное уравнение => f(x,y)=f(y/x); (x+y)/(y-x)=(1+y/x)/(1-y/x)

Определение. Дифференциальными уравнениями вида y`=f(x,y), где f(x,y)-однородная функция, называются однородными <=> y`=f(y/x)

Определение. Дифференциальные уравнения вида P9x,y)dx+Q9x,y)dy=0 называются однородными, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные одинаковой степени.

Лемма. Определение 1 эквивалентно Определению 2.

Доказательство. y`=-P(x,y)/Q9x,y) – однородная функция.

Метод решения. y`=f(y/x)

Замена u=y/x, y=ux.

y`=(ux)`=u`x+ux` => u`x=f(u)-u; du/dx *x = f(u)-u; S du/f(u)+u = S dx/x

Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям.

y`=f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2)

Сделаем замену x=x1-a(альфа), y=y1-b(бета)

a1(x1-a(альфа))+b1(y1-b(бета))+c1

a2(x2-a(альфа))+b2(y2-b(бета))+c1

Выберем a,b (альфа и бета) Далее: А-альфа, В-бета

{Аа1+Вb1-c1=0 => 1^0 | a1 b1 |

{Aa2+Bb2-c2=0 => | a2 b2 | <>0 => нашли А, В и сделали замену.

y`1=f(a1x1+b1y/a2x2+b2y) – однородное дифференциальное уравнение.

2^0: | a1 b1 |

| a2 b2 | = 0 => a1=лa2, b1=лb2, с1=лс1; f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2)=f(?)

3^0: a1=ла2, b1=лb2, c1<>лс2; f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2) => z=a2x+b2y => дифференциальное уравнение с разделяющейся переменной.