12. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и сводящимися к ним.

Определение. Дифференциальное уравнение вида y`=f(x)g(y) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример: y`=sqrt(x)*cos y – является; y`=ln(xy)

Метод решения. Производная может быть представлена, как

y`=dv/dx=lim(delta x->0) delta y/delta x

dy/dx=f(x)g(y)

Sdy/g(y)=Sf(x)dx => общий интеграл

Определение. Дифференциальное уравнение вида P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0 называется дифференциальным уравнением с раздельной переменной.

Лемма. Определение 1 эквивалентно Определению 2.

Доказательство. P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0

P2(x)Q2(y)dy – P1(x)Q1(y)dx :dx, :P2(x), :Q2(y)

dy/dx=-P1(x)/P2(x)*Q1(x)/Q2(y) => dy/dx=f(x)*g(y)

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с разделяющейся переменной.

Диф. уравнение вида y`=f(ax+by)

Сведем к z=ax+by.

y=1/b*z-a/b*x

y`=1/b*z`-a/b => 1/b*z1-a/b=f(z)

z`=b*f(z)+a*1

dz/dx=b*f`(z)+a

S dz/bf`(z)+a = S dx; S – интеграл