04. Производная по направлению

Определение. f=f(x,y), l-прямая, которая проходит через область задания функции. Рассмотрим точки M, M0 на l.

Если существует и конечный lim f(M)-f(M0)/|MM0|, то он называет производной по направлению.

Обозначения. [&f/&MM0] (M0), [&f/&l] (M0)

Определение. Пусть l-прямая в пространстве, тогда обозначим за a угол [l,OX], b(бета)=углу(l,OX), y(гамма)=углу(l,OZ). cos a, cos b, cos y – направляющие косинусы l (cos^2 a + cos^2 b + cos^2 y = 1).

Теорема о вычислении. Если существует &f/&x, &f/&y, &f/&z =>

[&f/&l] (M0) = [&f/&x] (M0)cos a + [&f/&y] (M0)cos b + [&f/&z] (M0)cos y.

Теорема. Производная по направлению вычисляется по формуле = [&f/&x] (M0)cos a + [&f/&y] (M0)cos b + [&f/&z] (M0)cos y.

Доказательство. l { x=x0+pt, y=y0+qt, z=z0+rt }

Пусть M0(x0,y0,z0) – координата точки, в которой мы считаем производную по направлению. [&f/&l] (M0) - ?

l [вектор] = l [вектор] (cos a, cos b, cos y)

=> l { x=x0+tcos a, y=y0+tcos b, z=z0+tcos y }

&f/&l (m)) = lim (t->0) [ f(M) – f(M0) / M0M ] =

= lim [ f(x0+tcosa, y0+tcosb, z0+tcosy) – f(x0,y0,z0)/ sqrt{ (tcosa)^2 + (tcosb)^2 + (tcosy)^2 } ] = lim [ Ф(t) – Ф(0) / t ] = Ф`(0) =

= &f/&x*dx/dt + &y/&y*dy/dt + &f/&z*dx/dt =

= &f/&x *cos a + &f/&y *cos b + &f/&z *cosy

Ф(t) – сложная функция.

Следствие. l [вектор] (p,q,r); &f/&l=

=(&f/&x *p + &f/&y *q + &f/&z *r) + [ 1/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]

Доказательство. cos a = [ p /sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ], cos b = [ q/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]

cos y = [ r/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]