Вычисление интегралов

Для вычисления определенного интеграла имеется много различных численных методов. Какой выбрать, зависит от того, насколько гладкой является функция, как дорого обходится ее вычисление и с какой точностью нужно получить результат. В этом пособии рассматривается только группа методов, использующих формулы Ньютона – Котеса. В этих методах предполагается, что нет ограничений на то, сколько раз придется вычислять, и что известно, сколько раз дифференцируема функция.

Во всех этих методах отрезок интегрирования разбивается на n равных частей с шагом h. Точки (узлы) разбиения обозначим ,,,. Обозначим,. Приведем несколько наиболее известных формул для приближенного вычисления интегралов, в нихJ – приближенное значение интеграла.

1. Левая формула прямоугольников .

2. Правая формула прямоугольников .

3. Центральная формула прямоугольников .

4. Метод трапеций .

5. Метод Симпсона . Заметим, что в первой сумме в этой формуле суммируютсяс четными номерами (кромеи), во второй сумме – с нечетными. В этой формуле число отрезков разбиенияn всегда обязано быть четным.

Рассмотрим преимущества и недостатки этих формул. Главное – это оценка точности. Пусть I – точное значение исходного интеграла. Тогда величина ошибки | I – J | оценивается так:

1. Для формул 1, 2 , т.е. эти формулы имеют первый порядок точности.

2. Для формул 3, 4 , второй порядок точности.

3. Для формулы Симпсона , четвертый порядок точности.

В приведенных оценках h – это шаг интегрирования, константа C зависит от интегрируемой функции и не зависит от величины шага интегрирования. Для величины константы C существуют формулы, в которых участвуют производные интегрируемой функции, при желании вы можете найти их в учебниках и справочниках. Однако эти формулы имеют скорее чисто теоретическое значение, для реальных вычислений их использовать, как правило, не удается. Порядок точности означает следующее. Если вы уменьшаете шаг интегрирования в два раза, т.е. увеличиваете объем вычислительной работы тоже в два раза, то для первого порядка точности оценка ошибки уменьшается в два раза, для второго порядка – уменьшается в четыре раза, для четвертого – в 16 раз! На основании этого можно предположить, что наиболее выгодной является формула Симпсона. И, на самом деле, она является наиболее употребительной. Но если функция является негладкой, т.е. имеет очень большие производные или вообще их не имеет, то формулы второго и четвертого порядка точности могут давать значительно более плохие оценки ошибки за счет резкого увеличения константы C. Так в формуле Симпсона для оценки ошибки используется максимальное значение модуля четвертой производной интегрируемой функции. Поэтому для заведомо негладких функций следует использовать формулы прямоугольников.

Для оценки ошибки при реальном вычислении интегралов используется обычно правило Рунге. Пусть применяется метод порядка k. Вычисляется приближенное значение интеграла с шагом h, обозначим его , и значение интеграла с шагом 0,5h, обозначим его . Тогда считается, что ошибка последнего результата не превосходит, т.е.. Использование такой оценки не дает стопроцентной гарантии достижения заданной точности. Однако для гладких функций, используемых в инженерных расчетах, она дает вполне удовлетворительные результаты. Для негладких функций, особенно разрывных, правило Рунге применять нельзя.

В системе MATHCAD по умолчанию автоматически выбирается наиболее подходящий метод интегрирования. Один из них – метод Ромберга. Его формулировка достаточно сложная. Суть заключается в следующем. Производится ряд вычислений интеграла по формуле Ньютона-Котеса. При каждом следующем счете число отрезков разбиения удваивается и, кроме того, повышается порядок метода. Ошибка оценивается по правилу Рунге. Как только она оказывается меньше заданной точности, вычисления прекращаются.