Число обусловленности матрицы (системы уравнений)

Решение системы линейных уравнений обладает одной особенностью. Может оказаться, что при очень малом изменении коэффициентов системы или ее свободных членов решение изменяется очень сильно. Такие системы или их матрицы коэффициентов называются «плохо обусловленными». Как правило, появление в инженерных расчетах плохо обусловленной системы уравнений означает, что математическая модель технической задачи выбрана неудачно. Действительно, в инженерных расчетах все входные величины (коэффициенты системы и свободные члены) берутся с некоторым округлением (редко более трех значащих цифр). Поэтому сильные колебания решения при изменении входных данных в пределах величины округления не допустимы.

При решении чисто математических задач входные данные считаются абсолютно точными, из-за чего плохо обусловленные матрицы встречаются достаточно часто. Но компьютерное решение таких задач нужно воспринимать с большой осторожностью, так как компьютер сам при вычислениях вносит ошибки округления.

Хорошо или плохо обусловлена система уравнений (матрица), определяется по числу обусловленности , где матрицаА – это матрица коэффициентов системы. Для объяснения этого понятия введем характеристику величины элементов матрицы, а именно норму матрицы. Норма матрицы обозначается . Чаще всего используется одна из трех норм:

, ,,

где – это наибольшее из собственных чисел матрицы.

По определению . При использовании различных норм матрицы будут получаться различные числа обусловленности. Однако если число обусловленности матрицы большое при использовании одной из норм, то оно будет большим и при использовании другой нормы. Система считается плохо обусловленной, если ее число обусловленности велико (порядкаи больше).

Лабораторная работа №3