Полиномиальные уравнения

Полиномиальным уравнением называется уравнение , где– неизвестные полиномы от переменногоx, левая часть этого уравнения должна быть равна нулю при всех значениях переменного x.

Из полиномиальных уравнений мы рассмотрим только простейшее линейное полиномиальное уравнение с двумя неизвестными многочленами:

, (5)

где ,,– известные многочлены,,– многочлены, которые нужно найти, равенство (5) должно выполняться при всех значениях переменногоx.

Решения такого полиномиального уравнения определяются неоднозначно. Так как уравнение линейное, то его общее решение строится так же, как и решение любого линейного уравнения или системы уравнений (системы алгебраических линейных уравнений, дифференциальные линейные уравнения и т.п.). Общее решение полиномиального уравнения (5) имеет вид ,, где,– какое-нибудь одно решение (частное решение) уравнения (5);,– общее решение соответствующего однородного полиномиального уравнения

. (6)

Если полиномы ,имеют наибольший общий делитель, который не является делителем, то уравнение (5) не имеет решений.

Если наибольший общий делитель ,является делителем, то обе части уравнения (5) делят на этот делитель, а затем решают получившееся уравнение.

Если многочлены ,взаимно простые, то уравнение (5) всегда имеет решение.

Если многочлены ,взаимно простые, то общее решение уравнения (6) имеет вид,, где– произвольный многочлен.

Если степень многочлена меньше суммы степеней многочленови, то уравнение (5) называют правильным. Решение правильного уравнения, удовлетворяющее условиям,, называют минимальным решением.

Доказано, что если многочлены ,взаимно простые, то у правильного уравнения (5) минимальное решение всегда существует и притом только одно.

Пусть ,. Чтобы найти минимальное решение, нужно записатьис неопределенными коэффициентами:

,

,

подставить их в (5), выполнить умножения слева и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x справа и слева. В результате получим линейную систему уравнений для неизвестных ,. Решив ее, можем записать минимальное решение. Если многочлены,имеют близкие корни, то эта система будет плохо обусловлена.

Рассмотрим случай, когда уравнение (5) является неправильным, т.е. . Представимв виде, где– остаток от деленияна произведение. В итоге получим, что. Неизвестный многочленбудем искать в виде. Подставив это выражение в (5), получим

Откуда . Это уравнение является правильным уравнением с неизвестнымии. Как его решать, мы уже выяснили выше.