Системы линейных уравнений

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с матрицей A и столбцом свободных членов b: A∙x = b, нужно столбцу неизвестных x присвоить значение произведения обратной матрицы к А на столбец свободных членов b. Тот же результат можно получить, воспользовавшись функцией lsolve(A,b). И в том и в другом случае элементы матрицы A и свободные члены b могут быть комплексными числами. Приведем пример использования функции lsolve(A,b). Пусть требуется решить систему уравнений

(Саму систему на экран компьютера записывать НЕ НУЖНО!). Создадим матрицу коэффициентов системы и столбец свободных членов

.

Функцию lsolve можно вызвать с помощью кнопки f(x) на панели инструментов. В развернувшемся слева списке нужно указать пункт Solving и в списке справа указать функцию lsolve: . Итак, получили, чтоx = 0.784, y = 1.2, z = 1.65.

Система MATHCAD может решать системы линейных уравнений небольшого порядка и в символьном виде. Такие вычисления могут быть проведены следующим образом. Вводим шаблон матрицы-столбца с числом элементов, равным числу уравнений. Вводим уравнения, используя для знака равенства знак = с панели Boolean. Эту панель можно вызвать с помощью кнопки с изображением знаков неравенств на панели математических инструментов. После этого нажимаем кнопку solve на панели Symbolic, после solve ставим запятую и далее через запятую указываем имена неизвестных. Например,

, . Попробуем решить следующую систему уравнений(НЕ НАБИРАТЬ!) с помощью обратной матрицы. Создадим матрицу системы и столбец свободных членов,. Находим решение. Система отказалась выполнить действия и выделила матрицуA красным цветом. При активизации этого блока появляется диагностика ошибки: матрица вырожденная (сингулярная), найти обратную невозможно.

Выясним ранг исходной и расширенной матрицы системы. Для этого воспользуемся функцией rank(■). Эту функцию можно вызвать кнопкой f(x) на панели инструментов, выбрав в списке слева пункт Vector and Matrix:

, , .

Таким образом, мы видим, что матрица A действительно является вырожденной. С другой стороны, по теореме Кронекера – Капелли система имеет решение. Получим его символьными действиями (открыть новый файл; “=” брать с панели Boolean):

.

Приведенный результат получен системой МС14. Он является одним решением из бесконечного множества решений. Более ранние версии системы МС давали общее решение системы уравнений.

Если мы в третьем уравнении число -10 заменим числом -11, то система уравнений станет несовместной. Проверьте это, вычислив ранг расширенной матрицы. Попробуйте символьно решить полученную систему.

Отметим, что к использованию системы МС для решения систем линейных уравнений с помощью численных методов нужно относится критически. При выполнении вычислений компьютер неизбежно округляет числа. Поэтому при реализации метода Гаусса или ему подобного вместо нуля может оказаться очень маленькое число и вырожденная матрица превратится в невырожденную.