Системы дифференциальных уравнений

Эту тему рассмотрим на конкретных примерах. Использование функций для решения систем практически ничем не отличается от случая одного дифференциального уравнения.

Пусть требуется решить систему дифференциальных уравнений

сначальными условиями:,при. Решать систему будем на отрезке [0; 4].

Создадим вектор правых частей системы уравнений. При этом нужно учитывать, что иявляются компонентами вектораy. В МС нумерация компонент по умолчанию начинается с нуля. Следовательно, или нужно изменить индексы у неизвестных функций, или установить нумерацию компонент с единицы. Далее считаем, что нумерация компонент начинается с единицы. Создадим вектор начальных условий . Создадим также вектор-функцию правой части системы дифференциальных уравнений:

.

Применим функцию Rkadapt:

.

Посмотрим матрицу Y, которая приведена на рис. 36. Видим, что она содержит три столбца, первый, как и раньше, дает сетку узлов интегрирования, второй – значения первой компоненты решения , третий – второй компоненты решения. Графики этих функций приведены на рис. 37.

Стоит попробовать найти решение при начальных условиях ,при. Попытайтесь проанализировать результат.

Если правая часть системы дифференциальных уравненийне содержит независимого переменногоx, то система называется автономной. Такие системы обладают некоторыми специфическими свойствами. Для них, в частности, можно рисовать так называемые фазовые кривые, то есть проекции интегральных кривых на пространство переменных y. Эти проекции не перекрывают друг друга и являются траекториями движения точки, закон движения которой задан системой дифференциальных уравнений.

Рассмотрим автономную систему

Найдем ее решение с начальными условиями ,прина отрезке [0; 20]. Для этого сформируем вектор правых частей

.

Здесь в описании функции аргумент x нужно указывать обязательно, хотя в правой части в действительности он отсутствует. Сформируем вектор начальных условий .

Найдем матрицу значений решения этой системы

. Изображение фазовой кривой

(фазовый портрет решения) приведено на рис. 38, графики компонент решения – на рис. 39.

Для решения систем дифференциальных уравнений можно также применять функцию Оdesolve. В этом случае у нее появляется еще один обязательный аргумент. Уравнения, входящие в систему, могут иметь произвольный порядок. Важно, чтобы производные старшего порядка входили в систему линейно. Каждая неизвестная функция системы должна иметь свое имя. Нельзя их создавать, как компоненты вектора! В записи уравнений системы у каждой неизвестной функции и ее производных обязательно указывать аргумент. Знак равенства берется с панели Boolean.

Для использования функции Оdesolve создается вычислительный блок. Он начинается директивой given. Далее записываются уравнения системы и начальные условия. Затем записывается оператор присвоения с функцией Оdesolve. В левой части этого оператора записывается матрица-столбец, элементами которой служат имена функций, которые составляют решение системы. Аргумент в этих функциях не указывается. Ставится знак присвоения := и пишется функция Оdesolve. Ее первый аргумент – это матрица-столбец с именами неизвестных функций системы без указания их аргумента. Второй аргумент функции Оdesolve – имя независимой переменной. Третий аргумент – конечная точка отрезка интегрирования. Четвертый аргумент – число узлов интегрирования. Четвертый аргумент является необязательным. По умолчанию в МС14 он равен 1000. Его стоит указывать, если есть необходимость проконтролировать точность решения системы уравнений. Переменная TOL не влияет на точность.

Решим с использованием функции Оdesolve систему уравнений на отрезке [0; 2] с начальными условиями:,,,.

Обратим внимание, что в записи этой системы точки над буквами заменяют символ ‘, т.е. символ дифференцирования. Такое обозначение обычно используется, если независимым аргументом служит t (в физике t – обозначение времени). В рассматриваемой системе независимым аргументом служит t. При записи уравнений в МС в качестве символа производной можно использовать только ‘ или , последний берется с панелиCalculus.

Создаем вычислительный блок (знак = с панели Boolean):

given

Теперь мы можем найти значения неизвестных функций в любой точке отрезка [0; 2], например, при :

.

Если рассмотренную систему уравнений превратить в систему из четырех уравнений первого порядка, то ее решение с помощью функции Rkadapt даст при результат, отличающийся лишь в четвертом знаке после запятой. Это достаточно хорошая точность. Можно построить графики решений (рис.40).

Функцию Оdesolve разумно использовать, когда число уравнений в системе невелико. В противном случае запись столбца с именами неизвестных функций будет затруднительна. Преимуществом этой функции служит то, что она автоматически определяет является ли система жесткой или нет, и выбирает соответствующий метод численного решения дифференциальных уравнений.