logo
Лабы

Решение систем нелинейных уравнений

Простейшие системы нелинейных уравнений система МС может решать с помощью символьных преобразований. ВНИМАНИЕ! Знаки = в уравнениях набираются не с клавиатуры, а вызываются с панели булевых функций Boolean. Вот несколько примеров:

,,

.

Системы, которые не удается решить символьными преобразованиями, можно попытаться решить численными методами. Для этого в системе МС нужно произвести следующие действия:

  1. Неизвестным присвоить начальные значения по возможности близкие к ожидаемому решению.

  2. В очередном блоке записать с клавиатуры слово given, которое является директивой системы МС и открывает «увеличенный блок», где записываются уравнения системы. В слове given не имеет значения, записано оно прописными буквами или строчными.

  3. В последующих блоках записать уравнения, используя знак =, взятый с панели Boolean. В каждом блоке записывается одно уравнение.

  4. Записать функцию Find(x,y,z,…), где в скобках указываются неизвестные системы уравнений. Лишние шаблоны в аргументе функции можно удалить. Эта функция, записанная в отдельном блоке, завершает «увеличенный блок», посвященный решению системы. Значения этой функции (решение системы) образуют вектор. Можно какому-нибудь переменному присвоить значение этой функции. Можно просто посмотреть ответы на экране, поставив после функции знак = с клавиатуры.

Рассмотрим пример

given

Итак, система MATHCAD выдала решение x = 1.109, y = 0.613. Произведем проверку

.

Видим, что с точностью до тысячных равенства системы выполнены. Эта точность соответствует точности, с которой выведены на экран результаты. На самом деле результат значительно лучше. Используем найденные значения z, а не их округленную запись на экране:

.

Таким образом, ошибка появляется только в пятнадцатом знаке после запятой!

Очень многое зависит от задания начальных значений. Если в приведенном выше примере изменить начальные условия, задав , то система сообщит, что решение задачи не найдено. Неизвестные и их начальные значения можно задавать в векторном виде. Пример (установите начало нумерации элементов матриц с 1):

given

.

Точность решения системы уравнений с помощью функции Find регулируется двумя системными переменными TOL и CTOL, которые можно найти через меню Tools пункт Worksheet Options.